Systém množin

Systém množin na dané množině je v teorii množin libovolná množina jejích podmnožin ^[1].

Je-li ${\displaystyle X}$ množina, pak systém množin na ${\displaystyle X}$ je libovolná množina podmnožin množiny ${\displaystyle X}$. Množina všech podmnožin množiny ${\displaystyle X}$ je její potenční množina ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá systém po dvou disjunktních množin, jestliže pro každé dva jeho prvky ${\displaystyle A,B\in S}$ platí ${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\emptyset }$.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá σ-systém (sigma-systém), právě když pro každý neprázdný spočetný podsystém platí, že jeho sjednocení je prvkem ${\displaystyle S}$.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá δ-systém (delta-systém), právě když pro každý neprázdný spočetný podsystém platí, že jeho průnik je prvkem ${\displaystyle S}$.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá okruh množin, právě když je neprázdný a pro každé dva jeho prvky ${\displaystyle A,B\in S}$ platí ${\displaystyle (A\cup B)\in S}$ a zároveň ${\displaystyle (A\Delta B)\in S}$, kde ${\displaystyle \Delta }$ je symetrická diference.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá σ-okruh (sigma-okruh), právě když ${\displaystyle S}$ je okruhem a zároveň je σ-systémem.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá δ-okruh (delta-okruh), právě když ${\displaystyle S}$ je okruhem a zároveň je δ-systémem.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá algebra množin, právě když ${\displaystyle S}$ je okruhem a zároveň existuje taková množina ${\displaystyle A\in S}$, že pro všechny prvky ${\displaystyle P\in S}$ je ${\displaystyle P\subseteq A}$.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá σ-algebra množin neboli σ-těleso, právě když ${\displaystyle S}$ je algebrou množin a zároveň je σ-systémem.

Systém množin ${\displaystyle S}$ se nazývá δ-algebra množin neboli δ-těleso, právě když ${\displaystyle S}$ je algebrou množin a zároveň je δ-systémem.

Odkazy

Reference

Související články

• Sigma okruh
• Sigma algebra