Třídové zobrazení

Třídové zobrazení je matematický pojem z oblasti teorie množin, který zobecňuje pojem množinového zobrazení.

Definice

Definice (množinového) zobrazení vyžaduje, aby jak definiční obor tak i obor hodnot byl množinou. V matematice je přesto běžné uvažovat o zobrazeních (například identita, potence, atd.), jejichž formálním definičním oborem je celé matematické univerzum (${\displaystyle \mathbb {V} }$), tedy vlastní třída (viz Russellův paradox). Ve standardní formalizaci teorie množin (systém ZFC) přísně vzato o třídách (a tedy i o výše zmíněných zobrazeních) nelze hovořit^[1]. Vzniklou situaci lze řešit buď přechodem do jiné formalizace (např. Gödel-Bernays nebo Kelley-Morsey), která o třídách umožňuje mluvit, nebo lze vyjadřování o třídách chápat jako jistý typ zkratky. V tomto textu se budeme držet druhého přístupu, který propagoval W. V. Quine^[2][3], a je dnes mezi matematiky pracujícími v teorii množin zdaleka nejrozšířenější.

Řekneme, že třída ${\displaystyle G=\{x:\phi _{G}(x)\}\,\!}$ je třídové zobrazení, jestliže:^[4]

1. ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {V} \times \mathbb {V} }$, kde ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ je univerzální třída tj. ${\displaystyle G\,\!}$ obsahuje výhradně uspořádané dvojice množin.
2. Pro její formuli ${\displaystyle \phi _{G}\,\!}$ platí podmínka jednoznačnosti, tj. pokud lze dokázat následující implikaci: ${\displaystyle \phi _{G}(\langle x,y\rangle )\land \phi _{G}(\langle x,z\rangle )\implies y=z\,\!}$

Pro třídové zobrazení můžeme zavést běžné značení funkční hodnoty, tj. formuli ${\displaystyle G(x)=y}$ chápeme jako zkratku formule ${\displaystyle \phi _{G}(\langle x,y\rangle )}$. Podobně lze chápat i všechny ostatní pojmy běžně používané u množinových zobrazení (obor hodnot, definiční obor,…) jako jisté zkratky.

Příklady

Množinová zobrazení

Z definice ihned plyne, že každé množniové zobrazení je speciálním případem třídového zobrazení.

Potence

Zobrazení, které každé množině přiřadí množinu všech jejích podmnožin je třídové zobrazení z univerzální třídy do univerzální třídy.

Mohutnost jako třídové zobrazení

Pomocí axiomu výběru lze dokázat, že každou množinu je možno vzájemně jednoznačně zobrazit na právě jedno kardinální číslo^[5]. Toto kardinální číslo nazýváme mohutností dané množiny. V teorii ZFC je mohutnost příkladem třídového zobrazení z univerzální třídy ${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$ do třídy ${\displaystyle \mathbb {C} n\,\!}$ všech kardinálních čísel. Mohutnost lze definovat i v teorii bez axiomu výběru^[6] nicméně její obor hodnot již bude obsahovat i množiny mimo třídu ${\displaystyle \mathbb {C} n\,\!}$.

Pořadí kardinálních čísel

Uvažujme o předpisu, který každému nekonečnému kardinálnímu číslu přiřadí jeho pořadí podle velikosti. Formálně jde o třídové bijektivní rostoucí zobrazení třídy nekonečných kardinálních čísel na třídu všech ordinálních čísel ${\displaystyle \mathbb {O} n\,\!}$. Toto zobrazení je inverzní k funkci alef. Funkce alef a funkce gimel jsou dalšími příklady třídového zobrazení mezi vlastními třídami.

Fundovaný rank a konstruovatelný rank množiny

Pokud přijmeme axiom fundovanosti, tj. univerzální třída je totožná s fundovaným jádrem, lze každé množině přiřadit její tzv. fundovaný rank, tj. nejmenší ordinální číslo ${\displaystyle \alpha \,\!}$, pro které platí, že ${\displaystyle x\,\!}$ náleží do ${\displaystyle \alpha \,\!}$-té vrstvy fundovaného jádra (${\displaystyle x\in V_{\alpha }\,\!}$).
Získáváme tak třídové zobrazení ${\displaystyle \mathbb {V} \rightarrow \mathbb {O} n}$, běžně označované jako rankovací funkce ^[7]. Podobně jako u mohutnosti lze rankovací zobrazení definovat i v teorii množin bez axiomu fundovanosti. V této teorii tak získáme zobrazení jehož definiční obor bude fundované jádro ${\displaystyle \mathbb {WF} }$. Podobnými úvahami aplikovanými na třídu ${\displaystyle \mathbb {L} }$ (Gödelovo univerzum konstruovatelných množin) lze získat konstruovatelný rank množiny, tj. třídové zobrazení z třídy ${\displaystyle \mathbb {L} }$ na třídu ${\displaystyle \mathbb {O} n}$.

Podívajte se také na

• Zobrazení
• Vlastní třída
• Ordinální číslo
• Kardinální číslo
• Transfinitní rekurze
• Fundované jádro

Odkazy

Reference

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola II., §2.