Tangens

Tangens je elementární goniometrická funkce. Je to funkce transcendentní, nelze ji obecně vyčíslit pomocí konečného počtu algebraických operací.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka tan^[1] (v českých publikacích běžně též tg) doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu). Závorky se pro argument pokud možno neužívají.

Argumentem je v reálném oboru zpravidla oblouková míra úhlu, ale v praxi se často užívá stupňová míra, na což je třeba dávat prozor při výpočtech na kalkulátorech (režimy RAD nebo DEG), jinak vznikají hrubě odchylné hodnoty.

Pro ostrý úhel je tangens v pravoúhlém trojúhelníku definován jako poměr délek protilehlé a přilehlé odvěsny. Definici lze konzistentně rozšířit jak na reálná čísla, tak i komplexní čísla.

Grafem tangenty v reálném oboru je transcendentní křivka tangentoida. Její nealgebraickou povahu dokazuje nekonečný počet průsečíků s osou x i nekonečný počet průchodů nevlatním bodem osy y.

Tangens se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li v průsečíku jednotkové kružnice s kladnou poloosou x vztyčena tečna k této kružnici (kolmá na osu x), je tg α rovna y-ové souřadnici průsečíku této tečny s přímkou koncového ramene úhlu α s počátečním ramenem v kladné poloose x (orientovaného od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), jinak řečeno, vzdálenost tohoto průsečíku od osy x se (v absolutní hodnotě) rovná tg α.

Z geometrické definice je také vidět, že tangens je v prvním a třetím kvadrantu nezáporná (≥ 0), ve druhém a čtvrtém nekladná (≤ 0) a pro úhly α = 90° a α = 270° (resp. π/2 a 3π/2 v obloukové míře) není definován, protože průsečík s tečnou neexistuje. V každé podmnožině intervalu ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ;{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right);k\in \mathbb {Z} }$ je tangens rostoucí funkcí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem ${\displaystyle \alpha +k\cdot \pi }$ v úhlové míře resp. ${\displaystyle \alpha +k\cdot 180^{\circ }}$ v míře stupňové, kde ${\displaystyle k}$ je celé číslo. Tangens lze tedy konzistentně definovat jako funkci v množině reálných čísel:

Funkce ${\displaystyle y={\mbox{tg }}x\!}$, je definována jako ${\displaystyle y={\mbox{tg }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ a má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\};k\in \mathbb {Z} }$
• Obor hodnot: ${\displaystyle (-\infty ;\infty )}$, respektive ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Rostoucí: v každém intervalu ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ;{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right);k\in \mathbb {Z} }$
• Derivace: ${\displaystyle (tg\ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$
• Integrál: ${\displaystyle \int {\mbox{tg }}x\,\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C;\,}$Integrační konstanta obecně jiná na každé komponentě definičního oboru.
• Inverzní funkce: arkus tangens (arctg)
• Tangens doplňkového úhlu: ${\displaystyle {\mbox{tg }}({\frac {\pi }{2}}-x)={\mbox{cotg }}x}$
• je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s nejmenší periodou ${\displaystyle \pi }$

• Goniometrie
• Tangentová věta

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tangens na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo tangens ve Wikislovníku