Tanh-sinh kvadratura

Tanh-sinh kvadratura je metoda numerické integrace, kterou objevili Hidetosi Takahasi a Masatake Mori v roce 1974.^[1] Název metody odráží fakt, že používá substituci s hyperbolickými funkcemi:

${\displaystyle x=\operatorname {tgh} \left({\frac {1}{2}}\pi \sinh t\right)\,}$

pro transformaci integrálu na intervalu x ∈ (−1, +1) na integrál na celé reálné ose t ∈ (−∞, +∞), přičemž oba integrály mají stejnou hodnotu. Protože integrand po této transformaci klesá rychlostí dvojnásobně exponenciální funkce, nazývá se tato metoda anglicky také Double Exponential (DE) formula.^[2]

Popis

Pro danou velikost kroku h je integrál aproximován sumou

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{k=-\infty }^{\infty }w_{k}f(x_{k}),}$

přičemž integrační body jsou

${\displaystyle x_{k}=\operatorname {tgh} \left({\frac {1}{2}}\pi \sinh kh\right)}$

a váhy

${\displaystyle w_{k}={\frac {{\frac {1}{2}}h\pi \cosh kh}{\cosh ^{2}\left({\frac {1}{2}}\pi \sinh kh\right)}}.}$

Vlastnosti

Metoda Tanh-sinh je málo citlivá na chování integrované funkce v koncových bodech. Pokud v jednom nebo obou koncových bodech intervalu (−1, +1) má funkce singularitu nebo nekonečnou derivaci, budou přemapovány na koncové body transformovaného intervalu (−∞,+∞), díky čemuž singularity v koncových bodech a nekonečné derivace zmizí. To vede k velkému zlepšení přesnosti algoritmu numerické integrace, která se typicky provádí lichoběžníkovou metodou. Ve většině případů transformovaný integrand vykazuje velmi rychlý pokles, díky čemuž numerický integrátor konverguje velmi rychle.

Stejně jako Gaussovo kvadraturní pravidlo je Tanh-sinh kvadratura velmi vhodná pro výpočty s libovolnou přesností, kde je požadována přesnost stovek nebo dokonce tisíců číslic. Rychlost konvergence je pro dostatečně rozumné integrandy exponenciální funkcí (v diskretizačním smyslu): zdvojnásobením počtu integračních bodů se přibližně zdvojnásobuje počet platných číslic.

Pro hladké integrandy není Tanh-sinh kvadratura tak efektivní jako gaussovská kvadratura, ale jak už bylo zmíněno, na rozdíl od gaussovské kvadratury má sklon fungovat stejně dobře s integrandy, které mají singularity nebo nekonečné derivace v jednom nebo obou koncových bodech integračního intervalu. Navíc může tanh-sinh kvadratura pracovat progresivně, kdy se velikost kroku půlí pokaždé, když se zvýší úroveň pravidla, přičemž se využívají dříve vypočítané funkční hodnoty. Další výhodou je, že integrační body a váhy lze relativně jednoduše spočítat. Cena výpočtu dvojice (bod integrace, váha) pro přesnost n číslic je zhruba n² log² n v porovnání s n³ log n pro gaussovskou kvadraturu.

Bailey a další provedli rozsáhlý výzkum tanh-sinh kvadratury, gaussovské kvadratury, kvadratury chybové funkce, a několika klasických metod numerické integrace a zjistili, že klasické metody nemohou prvním třem metodám konkurovat, obzvlášť když jsou požadovány výsledky s vysokou přesností. V příspěvku prezentovaném na konferenci RNC5 on Real Numbers and Computers v září 2003, který porovnával Tanh-sinh kvadraturu s gaussovskou kvadraturou a kvadraturou chybové funkce, Bailey a Li prezentovali, že „Celkově se Tanh-sinh schéma zdá být nejlepší. Rovnoměrně kombinuje výtečnou přesnost a rychlý výpočet. Z metod, které v současnosti máme, se nejvíce blíží skutečně univerzální metodě numerické integrace.“

Při porovnávání tanh-sinh s gaussovskou kvadraturou a kvadraturou chybové funkce, Bailey et al. (2005) zjistili, že pro integrandy, které se nejčastěji objevují v matematickém výzkumu, se Tanh-sinh metoda zdá být nejlepší.

Bailey (2006) uvádí, že: „Tanh-sinh metoda numerické integrace je nejrychlejší aktuálně známou metodou numerické integrace s vysokou přesností, obzvláště, když bereme v úvahu čas výpočtu integračního bodu a váhy. Byla úspěšně používána pro kvadraturní výpočty se přesností až 20 000 číslic.“

Lze shrnout, že numerická integrace metodou Tanh-sinh je navržena tak, že dává nejpřesnější výsledky pro minimální počet vyhodnocování integrované funkce. V praxi je kvadratura Tanh-sinh téměř invariantně nejlepší metoda a často je jedinou efektivní metodou, pokud je požadován výsledek s vysokou přesností.

Implementace

Knihovna Boost pro jazyk C++ implementuje metody integrace tanh-sinh, exp-sinh a sinh-sinh^[3]

Graeme F. Dennes implementoval Tanh-sinh kvadraturu v makrojazyce používaném Microsoft Excel.^[4]

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Tanh-sinh quadrature na anglické Wikipedii.

Literatura

• BAILEY, David H. Tanh-Sinh High-Precision Quadrature] [online]. 2006 [cit. 2020-03-22]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2010-03-31. 
• MOLIN, Pascal. Intégration numérique et calculs de fonctions L. , 2010. doctoral thesis. . Dostupné online. (francouzsky)
• BAILEY, David H.; JEYABALAN, Karthik; Xiaoye Sherry Li. A comparison of three high-precision quadrature schemes. Experimental Mathematics. Roč. 2005, čís. 14.3. Dostupné online. 
• BAILEY, David H.; BROADHURST, David; ZUDLIN, Wadim. Experimental mathematics and mathematical physics], in Gems in Experimental Mathematics (2010) [online]. American Mathematical Society [cit. 2020-03-22]. S. 41–58. Dostupné v archivu pořízeném dne 2011-09-27. 
• BORWEIN, Jonathan; BAILEY, David H.; GIRGENSOHN, Roland. Experimentation in Mathematics—Computational Paths to Discovery [online]. A K Peters, 2003. ISBN 1-56881-136-5. .
• MORI, Masatake; SUGIHARA, Masaaki. The double-exponential transformation in numerical analysis. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2001-01-15, roč. 127, čís. 1–2, s. 287–296. ISSN 0377-0427. DOI 10.1016/S0377-0427(00)00501-X. 
• PRESS, WH; TEUKOLSKY, SA; VETTERLING, WT; FLANNERY, BP. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3. vyd. New York: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8. 

Externí odkazy

• COOK, John D. Double Exponential Integration [online]. Dostupné online. Dostupné také na: [3]. 
• DENNES, Graeme F. Numerical Integration; Tanh-sinh Quadrature v4.42 Dostupné online.  Workbook pro Microsoft Excel obsahující 14 programů pro numerickou integraci, které demonstrují Tanh-sinh a další metody numerické integrace. Ukazuje ohromující rychlost a přesnost integrace Tanh-sinh konkrétně a dvojnásobně exponenciálních metod obecně. Programy pro kvadraturu jsou testovány na široké škále testovacích funkcí s výsledky. Obsahuje úplný otevřený zdrojový kód ve VBA a dokumentaci.