Tečný vektor

Tečný vektor

Tečný vektor v bodě ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ křivky, jejíž body jsou určeny rádiusvektorem ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ a která prochází bodem ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]}$ dané křivky, je vektor

${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}=\left[{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0},{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}\right]}$.

Jednotkovým tečným vektorem ${\displaystyle \mathbf {t} }$ se nazývá vektor jednotkový vektor ve směru tečného vektoru, tedy

${\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}=\left({\frac {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}},{\frac {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}^{2}}}}\right)}$

Pokud je parametrem křivky oblouk ${\displaystyle s}$, pak platí

${\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

Rovnice tečny

Jednotlivé složky jednotkového tečného vektoru ${\displaystyle \mathbf {t} }$ představují směrové kosiny tečny v daném bodě křivky.

Rovnici tečny ke křivce ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ v bodě ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {X-x_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Y-y_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}={\frac {Z-z_{0}}{{\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}}}$

nebo ve vektorovém tvaru

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} _{0}+u{\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)}_{0}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je bod dotyku tečny, ${\displaystyle \mathbf {R} =[X,Y,Z]}$ jsou body tečné přímky, ${\displaystyle t}$ je parametr křivky a ${\displaystyle u}$ je parametr tečny.