Tečna

Tečna ke křivce je přímka, která má v bodě dotyku stejný směrový vektor jako tato křivka^[1]. Křivka může být zadána jako graf funkce jedné proměnné. Zpravidla (pro nelineární funkce) má tečna s křivkou lokálně v okolí bodu dotyku společný jeden bod a zpravidla (mimo inflexní body) leží okolní body křivky ve stejné polorovině určené tečnou.

Tečna ke kuželosečce

Pro regulární kuželosečky (elipsa, parabola, hyperbola, kružnice) je možné zavést tečnu jako přímku, která má s kuželosečkou jeden dvojnásobný průsečík. Diskriminant kvadratické rovnice pro nalezení průsečíků je tedy nulový.

Středové rovnice kuželoseček a jejich tečen v bodě $[x_{0},y_{0}]$ jsou shrnuty v následující tabulce^[2]. (Uvažujeme pouze regulární kuželosečky. Pro ostatní kuželosečky není potřebné pojem tečny zavádět, protože přímkové singulární kuželosečky jsou samy svojí tečnou a v ostatních případech tečnu neuvažujeme.)


Kuželosečka	Středová rovnice kuželosečky	Rovnice tečny v bodě $[x_{0},y_{0}]$
Kružnice	$(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}$	$(x_{0}-m)(x-m)+(y_{0}-n)(y-n)=r^{2}$
Elipsa	${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {(x_{0}-m)(x-m)}{a^{2}}}+{\frac {(y_{0}-n)(y-n)}{b^{2}}}=1$
Parabola	$(x-m)^{2}=2p(y-n)$	$(x_{0}-m)(x-m)=p(y_{0}-n)+p(y-n)$
Hyperbola	${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$	${\frac {(x_{0}-m)(x-m)}{a^{2}}}-{\frac {(y_{0}-n)(y-n)}{b^{2}}}=1$

Každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny k této kružnici. Každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, proto používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Poznámka. Přístup známý z analytické geometrie kuželoseček, kdy je tečna definována jako přímka mající s regulární kuželosečkou společný jeden bod, je nepřenositelný na obecnější křivky. Proto se obecnější definice tečny v diferenciální geometrii liší od zavedení tohoto pojmu v teorii kuželoseček.

Tečna ke grafu funkce dané explicitně

Diferencovatelná funkce $y=f(x)$ má v bodě $x_{0}$ tečnu danou rovnicí

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),

kde

f'(x_{0})

je derivace funkce v bodě dotyku.

Poznámka (svislá tečna). Tento vztah je obvyklou definicí tečny v diferenciálním počtu funkce jedné proměnné. Nepokrývá však například skutečnost, že svislá přímka $x=0$ je tečnou ke grafu funkce $y={\sqrt[{3}]{x}}$ .

Graf třetí odmocniny má v počátku svislou tečnu.

Poznámka (inflexní bod). Bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní se nazývá inflexní bod. V tomto bodě nezůstává graf funkce v jedné polorovině definované tečnou, ale přechází z jedné poloroviny do druhé.

V inflexním bodě graf funkce přechází z jedné poloroviny definované tečnou do druhé poloroviny.

Tečna ke grafu funkce dané implicitně

Funkce daná v okolí bodu $(x_{0},y_{0})$ implicitně rovnicí $f(x,y)=0$ má v tomto bodě tečnu o rovnici

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.

Poznámka (svislá tečna). Na rozdíl od předchozího odstavce, tento vztah již pokrývá skutečnost, že přímka $x=0$ je tečnou ke grafu funkce $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . K získání rovnice tečny stačí tento vztah přepsat do tvaru $y^{3}-x=0.$

Tečna ke grafu parametrické funkce

Tečna ke grafu funkce dané parametricky rovnicemi

{\begin{aligned}x&=\phi (t)\\y&=\psi (t)\\z&=\theta (t)\end{aligned}}

má parametrické rovnice

{\begin{aligned}x&=\phi '(t_{0})t+\phi (t_{0})\\y&=\psi '(t_{0})t+\psi (t_{0})\\z&=\theta '(t_{0})t+\theta (t_{0}).\end{aligned}}

V případě rovinných křivek se třetí rovnice neuplatní. V tomto případě bývá obvyklé rovnici psát v neparametrickém tvaru

y-y_{0}={\frac {\psi (t_{0})}{\phi (t_{0})}}(x-x_{0}),

kde

[x_{0},y_{0}]=[\phi (t_{0}),\psi (t_{0})]

je bod dotyku. Tyto rovnice je výhodné zapsat i vektorově.

Poznámka. Rovnice tečny nezávisí na použité parametrizaci. Jinou parametrizací křivky můžeme dostat nejvýše jinou parametrizaci stejné tečny (tj. jinak dlouhý směrový vektor).

Zobecnění tečny

Přesná formální definice tečny je založena na diferenciálním počtu na pojmu diferenciál. Dle míry zobecnění se definice při různých přístupech mohou lišit, ale v podstatě vždy vyjadřujeme definicí to, že tečnou rozumíme přímku, která má s křivkou společný jeden bod a vzdálenost křivky od přímky klesá při přibližování se k bodu dotyku rychleji než lineárně. Jedná se tedy vlastně o lineární aproximaci funkce, tj. lineární část obecné polynomické aproximace. V tomto smyslu je tečnu možné zobecnit na dotyk libovolného vyššího řádu libovolných dvou křivek. Toto je náplní diferenciální geometrie. Například výše uvedené ukázky svislé tečny a inflexního bodu jsou dotyky druhého řádu.

Související články

Reference

↑ KOLÁŘ, Ivan; POSPÍŠILOVÁ, Lenka. Diferenciální geometrie křivek a ploch [online]. Brno: Masarykova Univerzita [cit. 2022-06-06]. S. 11. Dostupné online.
↑ ROBOVÁ, Jarmila, et al. Analytická geometrie: Portál středoškolské geometrie [online]. Praha: MFF UK [cit. 2022-06-06]. Dostupné online.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu tečna na Wikimedia Commons

[1] KOLÁŘ, Ivan; POSPÍŠILOVÁ, Lenka. Diferenciální geometrie křivek a ploch [online]. Brno: Masarykova Univerzita [cit. 2022-06-06]. S. 11. Dostupné online.

[2] ROBOVÁ, Jarmila, et al. Analytická geometrie: Portál středoškolské geometrie [online]. Praha: MFF UK [cit. 2022-06-06]. Dostupné online.

[1]

[2]

Navigation

Navigace

Tématické portály