Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. ${\displaystyle T_{kl\cdots n}}$.

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel ${\displaystyle T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}}$ (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic ${\displaystyle x_{i}^{\prime }=\sum _{j}a_{ij}x_{j}}$ transformují následujícím způsobem:

${\displaystyle T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}^{\prime }=\sum _{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\cdots a_{{i_{n}}{k_{n}}}T_{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}}$

Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$, můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem ${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}}$. Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

${\displaystyle T_{kl}^{\prime }=A_{k}^{\prime }B_{l}^{\prime }=\left(\sum _{i}a_{ki}A_{i}\right)\left(\sum _{j}a_{lj}B_{j}\right)=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}A_{i}B_{j}=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}T_{ij}}$

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.

Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.^[1]

Mějme vektorový prostor ${\displaystyle \mathbf {V} }$ nad tělesem ${\displaystyle \mathbb {T} }$ a k němu jeho duální prostor ${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$. Tenzor ${\displaystyle T}$ typu (n,m) je zobrazení

${\displaystyle T_{m}^{n}:\mathbf {V^{*}} \times \cdots \times \mathbf {V^{*}} \times \mathbf {V} \times \cdots \times \mathbf {V} \to \mathbb {T} }$

(${\displaystyle \mathbf {V} }$ m-krát ${\displaystyle \mathbf {V^{*}} }$ n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.

Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v české.

• Tenzorový součin

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tenzor na Wikimedia Commons