Tenzorový součin

Tenzorový součin dvou vektorových prostorů ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ nad stejným číselným tělesem ${\displaystyle T}$ je v matematice vektorový prostor ${\displaystyle Z}$ disponující takovým bilineárním zobrazením ${\displaystyle \phi \colon V\times W\to Z}$ z kartézského součinu ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ na ${\displaystyle Z,}$ které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z ${\displaystyle \phi \colon V\times W}$ v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad ${\displaystyle \phi }$. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení ${\displaystyle B\colon V\times W\to X}$ na vektorový prostor ${\displaystyle X}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ existuje jednoznačně definované lineární zobrazení ${\displaystyle {\tilde {B}}\colon Z\to X}$ tak, že ${\displaystyle B={\tilde {B}}\circ \phi ,}$, čili že pro libovolný pár vektorů ${\displaystyle v,w}$ platí ${\displaystyle B(v,w)={\tilde {B}}(\phi (v,w)).}$ Pokud takový vektorový prostor ${\displaystyle Z}$ existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný ${\displaystyle Z'}$ s univerzálním bilineárním zobrazením ${\displaystyle \phi '\colon V\times W\to Z'}$ existuje izomorfismus ${\displaystyle k\colon Z\to Z'}$ tak, že ${\displaystyle \phi '=k\circ \phi .}$ Prostor ${\displaystyle Z}$ se značí ${\displaystyle V\otimes W}$ a příslušné bilineární zobrazení se píše ${\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}$. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$ atd.

Ve fyzice se pro vektorový prostor ${\displaystyle V}$ s duálním prostorem ${\displaystyle V^{*}}$ (často ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$) prvky tenzorového součinu

${\displaystyle \underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ faktorů}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ faktorů}}}}$

označují jako tenzory kontravariantní stupně ${\displaystyle r}$ a kovariantní stupně ${\displaystyle s}$. Mluví se pak o tenzorech typu ${\displaystyle (r,s)}$.

Vlastnosti

Má-li prostor ${\displaystyle V}$ dimenzi ${\displaystyle m}$ a ${\displaystyle W}$ dimenzi ${\displaystyle n}$, pak ${\displaystyle V\otimes W}$ má dimenzi ${\displaystyle mn}$. Bázi ${\displaystyle V\otimes W}$ lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic ${\displaystyle (e_{i},f_{j})}$, kde ${\displaystyle e_{i}}$ jsou bázové vektory ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle f_{j}}$ bázové vektory ${\displaystyle W.}$

Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny ${\displaystyle v,v',v''\in V,}$ ${\displaystyle w,w',w''\in W}$ a libovolné ${\displaystyle \lambda \in T}$ tedy platí: