Teorie kategorií

Pro pochopení tohoto tématu je vhodné nejprve důkladně porozumět článku Abstraktní algebra

Teorie kategorií je odvětví matematiky zobecňující pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. Proto je považována za sjednocující teorii, která umožňuje zkoumat spojitosti mezi různými disciplínami, jako jsou například mnohá odvětví matematiky, některé oblasti teoretické informatiky a matematické fyziky.

Definice základních pojmů

Kategorie C se skládá z

  • třídy objektů ob(C),
  • třídy morfismů hom(C). Každý morfismus f má právě jeden zdrojový objekt a a cílový objekt b kde a a b jsou z ob(C). Píšeme f: a → b a říkáme, že „f je morfismus z a do b“. Pomocí hom(a, b) (nebo homC(a, b)) označujeme třídu všech morfismů z a do b.
  • Pro každé tři objekty a, b a c je definována operace hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) nazývaná skládání morfismů. Složení f : a → b a g : b → c se zapisuje jako g ∘ f nebo gf (někteří autoři také píšou fg nebo f;g). Pro skládání morfismů platí následující dvě vlastnosti
    • (asociativita) pokud f : a → b, g : b → c a h : c → d, tak h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f;
    • (identita) pro každý objekt x existuje morfismus 1x : x → x nazývaný identita na x, a to takový, že pro všechny morfismy f : a → b platí 1b ∘ f = f = f ∘ 1a.

Z definice lze dokázat, že existuje právě jedna identita na každém objektu.

Kategorie je malá kategorie, pokud ob(C) a hom(C) jsou nejen třídy, ale dokonce množiny. Kategorie, která není malá, je velká. Kategorie je lokálně malá kategorie pokud pro každé dva objekty a a b je hom(a, b) množina.

Morfismy se někdy nazývají šipky. Tento název má původ v komutativních diagramech.

Úvod do teorie

Příkladem kategorie je:

  • Kategorie grup: objektem v této kategorii je jakákoli grupa, morfismem z grupy a do grupy b jsou grupové homomorfismy.
  • Kategorie Set všech množin: objektem je jakákoli množina, morfismem z množiny a do množiny b je jakékoli zobrazení, jehož definiční obor je celá množina a a obor hodnot je podmnožinou b.

Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a skládání morfismů: Pokud f je morfismus z objektu a do b a g je morfismus z b do c, pak existuje složený morfismus g ∘ f z a do c. Toto skládání je asociativní a pro každý objekt a existuje jednotkový morfismus 1a z a do a tak, že f ∘ 1a = f (pro každý morfismus f z jakéhokoli objektu a do b) a podobně 1b ∘ g = g pro každý morfismus z a do b.

Příklad: V kategorii komutativních grup uvažujme grupy Z, Q, R celých, racionálních a reálných čísel. Mějme tato zobrazení

f: Z → Q tak, že f(x) = 10x
g: Q → R tak, že g(x) = 2x

Jedná se skutečně o morfismy v této kategorii, neboť splňují definici grupového homomorfismu. Pak zobrazení h = g ∘ f a j = 1Q vypadají takto:

h(x) = g(f(x)) = 20x pro každé celé číslo x
j(x) = x pro každé racionální číslo x

Definice pojmů pomocí morfismů

Teorie kategorií definuje pojmy tak, aby nebylo nutné mluvit o prvcích zkoumaných struktur. Například pojem prosté zobrazení je obvykle definován takto: zobrazení f z množiny A do B je prosté, pokud pro každé x,y A, x y , platí f(x) f(y).

Obdobný pojem v teorii kategorií zní: Morfismus f z objektu a do b je monomorfismus, pokud pro každý objekt c a morfismy g, h z c do a platí: pokud fg = fh, pak g = h.

V kategorii všech množin jsou monomorfismy právě prostá zobrazení. To lze ilustrovat na tomto příkladu: Budiž f zobrazení ze Z do Q (tedy z celých do racionálních čísel) tak, že f(x) = x2. Toto zobrazení není prosté, protože f(2) = f(-2). Abychom ukázali, že není monomorfismem, zvolme za objekt c množinu {2, -2}. Zobrazení g, h z c do Z zvolme takto:

  • g(x) = x
  • h(x) = 2

Tato zobrazení nejsou totožná, neboť číslu -2 přiřazují různé hodnoty. Složeniny fg a fh však totožné jsou, neboť oběma prvkům množiny c přiřadí číslo 4. Stejným způsobem lze o každém zobrazení, které není prosté, ukázat, že v kategorii množin není monomorfismem. Na druhou stranu, pokud zobrazení není monomorfismem, pak pro nějakou množinu c, zobrazení f, g a prvek x c platí, že g(x) h(x), ale f(g(x)) = f(h(x)). Prvky g(x) a h(x) pak dosvědčují, že f není prosté.

Podobným způsobem teorie kategorií definuje pomocí objektů a morfismů (bez odkazů na prvky těchto objektů) mnoho pojmů, jejichž obvyklá definice s prvky pracuje. To umožňuje studovat společné vlastnosti zdánlivě nesouvisejících a navzájem velmi odlišných struktur, které mají sice zcela jiné prvky, ale jejich morfismy vykazují nějakou podobnost.

Další příklady kategorií

  • Kategorie Ord, ve které jsou objekty uspořádané množiny, morfismy jsou monotónní funkce a skládání je skládání funkcí.
  • Každá uspořádaná množina (P, ≤) tvoří malou kategorii, ve které jsou objekty prvky P, morfismus z a do b existuje pokud a≤b a skládání je dané jednoznačně, jelikož mezi a a b existuje nejvýše jeden morfismus.
  • Každý monoid tvoří malou kategorii s jediným objektem x. Morfismy z x do x jsou prvky monoidu, a skládání morfismů je dáno operací na monoidu.
  • Kategorie Top je kategorie nazývaná kategorií topologických prostorů. Objekty této kategorie jsou topologické prostory a morfizmy mezi objekty jsou spojitá zobrazení mezi těmito objekty.
  • Pro každou predikátovou teorii je kategorií třída všech modelů této teorie, přičemž morfismy jsou elementární vnoření

Vzhledem k tomu, jak široký okruh struktur lze teorií kategorií popsat, bývá pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější z matematických disciplín.

Historie

Poprvé se kategorie začaly objevovat v pracích Samuela Eilenberga a Saunderse Mac Lana v letech 1942 až 1945 v souvislosti s algebraickou topologií.

Odkazy

Související články

Externí odkazy