Teorie polomnožin

Teorie polomnožin je matematická teorie zobecňující teorii množin, která byla vyvinuta v 70. a 80. letech 20. století Petrem Vopěnkou a Petrem Hájkem. Její axiomatizace je podobná Von Neumann-Gödel-Bernaysově teorii množin, ale liší se tím, že umožňuje existenci vlastních tříd, které jsou částí nějaké množiny. Tato vlastnost umožňuje polomnožinám sloužit jako základ Vopěnkovy alternativní teorie množin.

Axiomatizace teorie polomnožin

Základní definice

Některé definice v tomto odstavci využívají objekty, jejichž existenci a vlastnosti lze dokázat pouze použitím některých axiomů. Proto při výstavbě teorie polomnožin je nutné postupovat po krocích (zavést axiomy, jejich užitím definovat nějaké objekty, ty využít k formulaci dalších axiomů, pomocí nich definovat další objekty, atd …). Pro přehlednost jsou však uvedeny axiomy a definice zvlášť a v pořadí, které neodpovídá jejich postupnému zavádění, ale jejich významu.

• Uspořádanou dvojici <x,y> definujeme jako ${\displaystyle \,\{x,\{x,y\}\}}$ (existence takové množiny plyne z axiomu dvojice pro množiny - viz dále).
• Řekneme, že třída R je relace, značíme Rel(R), jsou-li všechny prvky R tvaru ${\displaystyle <u,v>}$ pro nějaké množiny u,v. Je-li ${\displaystyle <u,v>\in R}$, píšeme také někdy uRv. Definiční obor relace R, D(R), je množina všech v, pro které existuje u, že ${\displaystyle <u,v>\in R}$. Obor hodnot relace R, W(R), je množina všech u, pro které existuje v, že ${\displaystyle <u,v>\in R}$.
• Extenze prvku ${\displaystyle x\in D(R)}$ v relaci R, ${\displaystyle \,Ext_{R}(x)}$, je ${\displaystyle \{y;<y,x>\in R\}}$.
• Třída X je polomnožina, Pm(X), existuje-li množina y, že ${\displaystyle X\subseteq y}$.
• Relace R je regulární, Reg(R), je-li ${\displaystyle \,Ext_{R}(x)}$ polomnožinou pro všechna ${\displaystyle x\in D(R)}$.
• Relace R je prostá, Pr(R), je-li pro ${\displaystyle x\neq y}$ z D(R) nutně ${\displaystyle Ext_{R}(x)\neq Ext_{R}(y)}$.
• Třída X je exaktní funktor, Exct(X), je-li ${\displaystyle Rel(X)\land Reg(X)\land Pr(X)}$.

Axiomy

Axiomatizace teorie polomnožin se obvykle vyslovuje v logice obsahující dva druhy proměnných - proměnné pro množiny a proměnné pro třídy. V následující axiomatizaci budeme označovat proměnné pro množiny malými písmeny x,y,z,… a proměnné pro třídy velkými písmeny X,Y,Z,…

Axiomy definující množinové proměnné

• (MP1) ${\displaystyle (\exists x)(x=X)\leftrightarrow (\exists Y)(X\in Y)}$ (Axiom definice množinové proměnné) Třída X je množina, právě když je prvkem nějaké třídy.
• (MP2) ${\displaystyle (\forall x)(\exists X)(x=X)}$ (Axiom inkluze množinových a třídových proměnných) Každá množina je zároveň třída.

Axiomy o třídách a množinách

• (TM1) ${\displaystyle (\exists X)(\exists Y)(X\in Y)}$ (Axiom existence množiny) Existuje nějaká množina.
• (TM2) ${\displaystyle (\forall Z)(Z\in X\leftrightarrow Z\in Y)\leftrightarrow (X=Y)}$ (Axiom extenzionality pro třídy) Třídy jsou si rovny právě když mají stejné prvky.
• (TM3) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (u=x\vee u=y))}$ (Axiom dvojice pro množiny) Pro každé dvě množiny existuje množina, která je neuspořádanou dvojicí těchto množin.
• (TM4) ${\displaystyle (\exists x)(\emptyset \in x\land (\forall y)(y\in x\rightarrow \{y\}\in x))}$ (Axiom nekonečna) Existuje nekonečná množina.

Gödelovské axiomy pro třídy

• (GT1) ${\displaystyle (\exists Y)(\forall x)(x\in Y)}$ (Existence univerzální třídy) Existuje třída všech množin.
• (GT2) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v)(x\in X\land x=<u,v>\land u\in v))}$ (Existence reprezentace ${\displaystyle \in }$) Na každé třídě existuje třídová reprezentace relace ${\displaystyle \in }$.
• (GT3) ${\displaystyle (\forall X,Y)(\exists Z)(\forall x)(x\in Z\leftrightarrow (x\in X\land x\not \in Y))}$ (Axiom doplňku) Pro každé dvě třídy existuje doplněk jedné do druhé.
• (GT4) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists y)(<y,x>\in X))}$ (Axiom projekce) Pro každou třídu je její definiční obor rovněž třídou.
• (GT5) ${\displaystyle (\forall X,Y)(\exists Z)(\forall x)(x\in Z\leftrightarrow (\exists u,v)(x\in X\land x=<u,v>\land v\in Y))}$ (Axiom zúžení) Pro každé dvě třídy existuje zúžení jedné na druhou.
• (GT6) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v)(x=<u,v>\land <v,u>\in X))}$ (Axiom binární inverze) Pro každou třídu (binární relaci) existuje třída k ní inverzní.
• (GT7) ${\displaystyle (\forall X)(\exists Y)(\forall x)(x\in Y\leftrightarrow (\exists u,v,w)(x=<u,v,w>\land <v,w,u>\in X))}$ (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

Gödelovské axiomy pro množiny

• (GM2) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w)(u\in x\land u=<v,w>\land v\in w))}$ (Existence reprezentace ${\displaystyle \in }$) Na každé množině existuje množinová reprezentace relace ${\displaystyle \in }$.
• (GM3) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (u\in x\land u\not \in y))}$ (Axiom doplňku) Pro každé dvě množiny existuje doplněk jedné do druhé.
• (GM4) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v)(<v,u>\in x))}$ (Axiom projekce) Pro každou množinu je její definiční obor rovněž množinou.
• (GM5) ${\displaystyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow (\exists v,w)(u\in x\land u=<v,w>\land w\in y))}$ (Axiom zúžení) Pro každé dvě množiny existuje zúžení jedné na druhou.
• (GM6) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w)(u=<v,w>\land <w,v>\in x))}$ (Axiom binární inverze) Pro každou množinu (binární relaci) existuje množina k ní inverzní.
• (GM7) ${\displaystyle (\forall x)(\exists y)(\forall u)(u\in y\leftrightarrow (\exists v,w,r)(u=<v,w,r>\land <w,r,v>\in x))}$ (Axiom ternární inverze) Pro každou třídu (ternární relaci) existuje třída, jež je její „cyklickou záměnou“.

Axiom exaktního funktoru

• (EF) ${\displaystyle Extc(X)\rightarrow (Pm(D(X))\leftrightarrow Pm(W(X)))}$ (Axiom exaktního funktoru) Exaktní funktor má polomnožinový definiční obor, právě když má polomnožinový obraz.

Polomnožina

Polomnožinou nazýváme takovou vlastní třídu X, pro kterou existuje množina y, že ${\displaystyle X\subseteq y}$.

Související články

• Zermelo-Fraenkelova teorie množin
• Von Neumann-Gödel-Bernaysova teorie množin
• Kelley-Morseova teorie množin
• Alternativní teorie množin
• New Foundations