Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz umožňuje posoudit, zda experimentálně získaná data vyhovují předpokladu, který jsme před provedením testování učinili. Můžeme například posuzovat, zda platí předpoklad, že určitý lék je účinnější než jiný; nebo zda úroveň matematických dovedností žáků 9. tříd je nezávislá na pohlaví a na regionu.

Jako statistickou hypotézu chápeme určitý předpoklad o rozdělení náhodných veličin. Jestliže se tyto předpoklady týkají hodnot parametrů rozdělení náhodné veličiny, pak hovoříme o parametrických hypotézách. V opačném případě se jedná o hypotézy neparametrické.

Jsou-li hypotézou specifikovány všechny parametry rozdělení sledované veličiny, tzn. rozdělení je určeno jednoznačně, pak říkáme, že hypotéza je jednoduchá. Pokud není některý parametr rozdělení specifikován jednoznačně, např. je vymezen intervalem, pak hovoříme o složené hypotéze.

Při testování statistických hypotéz se vždy porovnávají dvě hypotézy. První hypotéza, nulová (testovaná), je hypotéza, která se testuje; značí se obvykle ${\displaystyle H_{0}}$. Druhou hypotézou je alternativní hypotéza, obvykle značená ${\displaystyle H_{1}}$.

Testování platnosti nulové hypotézy ${\displaystyle H_{0}}$ je založeno na následující úvaze:

• Předpokládá se, že hypotéza ${\displaystyle H_{0}}$ platí.
• Rozhodne se, kterým náhodným pokusem (například založeném na náhodném výběru) se hypotéza ověří. Určí se, která náhodná veličina bude výsledkem pokusu.
• Stanoví se hladina významnosti ${\displaystyle \alpha }$ neboli pravděpodobnost (míru rizika) toho, že hypotéza ${\displaystyle H_{0}}$ bude neoprávněně zamítnuta, ačkoliv platí (viz též dále chyba I. druhu). ${\displaystyle \alpha }$ se přitom stanovuje jako malé, obvykle 0,05 a nižší (tuto hodnotu zavedl do statistiky v roce 1925 Ronald Fisher ^[1]).
• V oboru možných hodnot zvolené náhodné veličiny se určí taková část, do níž za platnosti ${\displaystyle H_{0}}$ padne výsledek veličiny s pravděpodobností ${\displaystyle \alpha }$. Tato část oboru možných hodnot se nazve kritický obor.
• Pokud nyní hodnota náhodné veličiny padne do kritického oboru, nulová hypotéza se zamítne, neboť nastal jev, který by za platnosti ${\displaystyle H_{0}}$ měl jen velmi nízkou pravděpodobnost, jeho výskyt tudíž svědčí proti platnosti nulové hypotézy.

Výsledkem testu je rozhodnutí o nulové hypotéze. Přijetí hypotézy ${\displaystyle H_{0}}$ znamená, že je považována za možnou. Zamítnutí hypotézy ${\displaystyle H_{0}}$ je ekvivalentní přijetí hypotézy ${\displaystyle H_{1}}$. Testování hypotéz je tedy proces, při němž se na základě náhodného výběru rozhoduje pro testovanou nebo alternativní hypotézu.

Samotný postup testování hypotéz se nazývá statistický test (test významnosti).

Testuje-li se neznámý parametr ${\displaystyle \Theta }$, pak se testovaná (nulová) hypotéza zapisuje jako

${\displaystyle H_{0}:\Theta =\Theta _{0}\,}$

Alternativní hypotézu pak formulujeme jedním z následujících způsobů

${\displaystyle H_{1}:\Theta =\Theta _{1}\,}$

${\displaystyle H_{1}:\Theta >\Theta _{0}\,}$

${\displaystyle H_{1}:\Theta <\Theta _{0}\,}$

${\displaystyle H_{1}:\Theta \neq \Theta _{0}\,}$

První formulace alternativní hypotézy ${\displaystyle H_{1}}$ je používána pouze v případě, kdy se rozhoduje mezi dvěma hodnotami ${\displaystyle \Theta _{0}}$ a ${\displaystyle \Theta _{1}}$. Další dva případy se používají tehdy, má-li dokázat, že odchylka od ${\displaystyle \Theta }$ je pouze v jednom směru. Alternativní hypotéza formulovaná posledním vztahem pouze popírá testovanou hypotézu ${\displaystyle H_{0}}$.

K otestování nulové hypotézy ${\displaystyle H_{0}}$ proti alternativní hypotéze ${\displaystyle H_{1}}$ použijeme statistiku ${\displaystyle T}$, kterou označujeme jako testovací kritérium. Testovací kritérium je funkce náhodného výběru, která má vztah k nulové hypotéze, a jejíž rozdělení za předpokladu platnosti nulové hypotézy známe. Obor možných hodnot testovacího kritéria rozdělíme na dva neslučitelné obory. Jedním z nich je obor přijetí testované hypotézy ${\displaystyle \mathbf {V} }$ a druhým je kritický obor ${\displaystyle \mathbf {W} }$. Pokud výběrová hodnota testovacího kritéria padne do oboru přijetí testované hypotézy, pak nezamítáme nulovou hypotézu. Padne-li tato hodnota do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítáme.

Kritický obor oddělují od oboru přijetí tzv. kritické hodnoty, což jsou kvantily rozdělení testovacího kritéria při platnosti ${\displaystyle H_{0}}$.

Místo porovnání hodnoty testovacího kritéria s kritickými hodnotami se pro rozhodování o nulové hypotéze používá též p-hodnota, zejména při použití statistického software. Význam p-hodnoty objasní následující postup.

1. Nechť testovací kritérium ${\displaystyle T}$ nabylo při testování hodnoty ${\displaystyle t}$.
2. Obor možných hodnot testovacího kritéria se číslem ${\displaystyle t}$ rozdělí na dvě části:
   • obor ${\displaystyle \mathbf {V'} }$, v němž jsou všechny takové hodnoty testovacího kritéria ${\displaystyle T}$, jež svědčí pro platnost ${\displaystyle H_{0}}$ více než nebo stejně jako číslo ${\displaystyle t}$
   • obor ${\displaystyle \mathbf {W'} }$, v němž jsou všechny takové hodnoty testovacího kritéria ${\displaystyle T}$, jež svědčí proti platnosti ${\displaystyle H_{0}}$ více než číslo ${\displaystyle t}$
3. P-hodnota je pravděpodobnost, že výsledek testovacího kritéria ${\displaystyle T}$ za platnosti ${\displaystyle H_{0}}$ padne do oboru ${\displaystyle \mathbf {W'} }$.
4. Je-li p-hodnota menší než předem stanovené ${\displaystyle \alpha }$, nulovou hypotézu zamítáme.

P-hodnota tedy znamená, zjednodušeně řečeno, jaká je pravděpodobnost, že by testovací kritérium dosáhlo své hodnoty, případně hodnot ještě více svědčících proti ${\displaystyle H_{0}}$, pokud by ${\displaystyle H_{0}}$ opravdu platila. Čím menší p-hodnota, tím nepravděpodobnějšího výsledku (za předpokladu platnosti ${\displaystyle H_{0}}$) bylo dosaženo.

Výhoda p-hodnoty je v tom, že její výpočet nezávisí na konkrétní volbě ${\displaystyle \alpha }$. Není tak nutné znát kritické hodnoty pro různé volby ${\displaystyle \alpha }$, p-hodnota obsahuje dostatečnou informaci sama o sobě.

Uvedený postup může také vést k chybnému zamítnutí testované hypotézy (tzv. chyba I. druhu) nebo k chybnému přijetí testované hypotézy (tzv. chyba II. druhu).

Pravděpodobnost chyby I. druhu je označována jako hladina významnosti testu.

${\displaystyle \alpha =P(T\in \mathbf {W} |H_{0})}$

Pravděpodobnost, že hodnota testovacího kritéria padne do oboru přijetí ${\displaystyle H_{0}}$, jestliže platí ${\displaystyle H_{1}}$, tzn. pravděpodobnost chyby II. druhu, je

${\displaystyle \beta =P(T\in \mathbf {V} |H_{1})}$

Doplněk k ${\displaystyle \beta }$ se nazývá síla testu (hovoříme také o silofunkci), a jako dostatečná hodnota se zpravidla uvažuje 0,8 a vyšší:

${\displaystyle 1-\beta =P(T\in \mathbf {W} |H_{1})}$

Při volbě testovacího postupu je naším cílem, aby chyby testu byly co nejmenší. Lze dokázat, že za daných podmínek vede snižování ${\displaystyle \alpha }$ k růstu ${\displaystyle \beta }$ a naopak.

Při testování obvykle postupujeme tak, že nejdříve formulujeme nulovou a alternativní hypotézu. Poté pevně zvolíme hladinu významnosti ${\displaystyle \alpha }$ (obvykle se volí ${\displaystyle \alpha =0,05}$ a nižší). Nalezneme vhodné testovací kritérium, odvodíme jeho pravděpodobnostní rozdělení při platnosti ${\displaystyle H_{0}}$. Dále vymezíme kritický obor s ohledem na formulaci hypotézy ${\displaystyle H_{1}}$. Vypočteme testovací kritérium ${\displaystyle T}$ a určíme kritické hodnoty testovacího kritéria. Jestliže ${\displaystyle T\in \mathbf {W} }$, pak hypotézu ${\displaystyle H_{0}}$ zamítáme a říkáme, že s pravděpodobností ${\displaystyle 1-\alpha }$ platí hypotéza ${\displaystyle H_{1}}$. Pokud ${\displaystyle T\in \mathbf {V} }$, pak hypotézu ${\displaystyle H_{1}}$ považujeme za neprokázanou. V takové případě neprovádíme úsudek o platnosti ${\displaystyle H_{0}}$, nechceme-li se zabývat sílou testu.

Moderní statistické programy při výpočtech předkládají přímo pravděpodobnost chyby prvního druhu, označovanou jako „Sig.“ nebo „P-value“, kterou porovnáváme se zvolenou hladinou významnosti (typicky 0,05). Tyto programy hodnoty pro vyšší přehlednost často označují hvězdičkami, jedna hvězdička pro p-value nižší než 0,05, dvě pro p-value nižší než 0,01 a tři pro 0,001.

• Matematická statistika
• Odhad
• Odhad (statistika)
• Testování softwaru
• Statistika
• Chyby typu I a II

• Obrázky, zvuky či videa k tématu testování statistických hypotéz na Wikimedia Commons