Topologická grupa

Topologická grupa je matematický objekt, který má jak strukturu grupy, tak i topologického prostoru, přičemž se požaduje, aby obě struktury byly vzájemně kompatibilní. Příkladem topologické grupy je množina jednotkových komplexních čísel (kružnice) s operací násobení, reálná čísla s operací sčítání, Lieovy grupy, anebo množina racionálních čísel spolu s operací sčítání.

Formální definice

Topologická grupa ${\displaystyle G}$ je topologický prostor a grupa pro který platí, že grupová operace

${\displaystyle G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy}$

a grupová inverze

${\displaystyle G\to G:x\mapsto x^{-1}}$

jsou spojitá zobrazení. ${\displaystyle G\times G}$ je tady topologický prostor se součinovou topologií.

Někteří autoři navíc požadují, aby topologie na ${\displaystyle G}$ byla Hausdorfova.

V jazyku teorie kategorií, topologické grupy se definují jako grupové objekty v kategorii topologických prostorů, podobně jako běžné grupy jsou grupové objekty v kategorii množin.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu topologická grupa na Wikimedia Commons