Totálně omezený metrický prostor

Nejobecnější definice totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

• přirozené číslo n a soubor ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...A_{n}}$ podmnožin množiny X, takový, že
  • S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
  • každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

${\displaystyle \forall _{E}\;\exists _{n\in \mathbb {N} }\;\exists _{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\subseteq X}\left(S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\;{\mbox{a zároveň}}\;\forall _{i=1,\ldots ,n}\;\mathrm {velikost} (A_{i})\leq E\right).\!}$

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor ${\displaystyle M}$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností ${\displaystyle a_{i},\,b_{i}\,\!}$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel ${\displaystyle \left|a_{1}-b_{1}\right|,\,\left|a_{2}-b_{2}\right|\dots \,\!}$.

Uvažme množinu ${\displaystyle A\subseteq M}$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor ${\displaystyle M}$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina ${\displaystyle A}$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek ${\displaystyle A}$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro ${\displaystyle \epsilon =1\,\!}$ existovala konečná ${\displaystyle \epsilon }$-síť ${\displaystyle S}$, jejíž prvky můžeme označit ${\displaystyle S(1),S(2),\dots S(m)\,\!}$, kde ${\displaystyle m}$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost ${\displaystyle c_{n}\,\!}$, definovanou takto:

• ${\displaystyle c_{i}=-2\,\!}$, pokud ${\displaystyle i\leq m\,\!}$ a ${\displaystyle S(i)_{i}\geq 0\,\!}$
• ${\displaystyle c_{i}=\,2\,\!}$, pokud ${\displaystyle i\leq m\,\!}$ a ${\displaystyle S(i)_{i}<0\,\!}$
• ${\displaystyle c_{i}=0\,\!}$, pokud ${\displaystyle i>m\,\!}$

Symbol ${\displaystyle S(i)_{i}}$ značí ${\displaystyle i}$-tý prvek ${\displaystyle i}$-té posloupnosti v množině ${\displaystyle S}$. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost ${\displaystyle c_{n}}$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti ${\displaystyle S(i)\,\!}$, čehož dosáhneme tak, že pro každé ${\displaystyle i}$ vhodnou volbou ${\displaystyle c_{i}}$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti ${\displaystyle S(i)}$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek ${\displaystyle S(j)}$ má od posloupnosti ${\displaystyle c_{n}\,\!}$ vzdálenost menší, než 1. Z definice ${\displaystyle c_{n}\,\!}$ však plyne, že číslo ${\displaystyle S(j)_{j}}$ je od čísla ${\displaystyle c_{j}}$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Prekompaktní množina

Prekompaktní množina, nebo též totálně omezená množina, je taková množina bodů metrického prostoru, která jde vždy pokrýt konečným počtem stejných koulí o libovolně malém poloměru.

Definice

Množina ${\displaystyle M}$ v metrickém prostoru se nazývá prekompaktní, jestliže ke každému ${\displaystyle \epsilon >0}$ existuje v ${\displaystyle M}$ konečná množina bodů ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in M}$ s vlastností ${\displaystyle M\subset \bigcup _{i=1}^{n}U(x_{i},\epsilon )}$, kde ${\displaystyle U(x_{i},\epsilon )}$ jsou ${\displaystyle \epsilon }$-okolí ${\displaystyle x_{i}}$ (koule se středem ${\displaystyle x_{i}}$ a poloměrem ${\displaystyle \epsilon }$).

Vlastnosti

Množina ${\displaystyle M}$ je prekompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti prvků ${\displaystyle M}$ lze vybrat cauchyovskou posloupnost.

Prekompaktní množina je omezená. Kompaktní množiny jsou ty, které jsou prekompaktní a úplné.

Na úplných metrických prostorech prekompaktní množiny a relativně kompaktní množiny splývají.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Totally bounded space na anglické Wikipedii.

Související články

• Kompaktní množina
• Kompaktní zobrazení
• Metrický prostor