Transfinitní indukce

Spirála znázorňující všechna ordinální čísla menší než ωω.

Transfinitní indukce je postup důkazu používaný v teorii množin obdobný jako klasická matematická indukce, ale rozšířený z přirozených čísel na ordinální čísla.

Věty o transfinitní indukci

Přestože princip matematické indukce je uváděn jako součást Peanovy axiomatiky přirozených čísel, je třeba jej v axiomatice teorie množin ZF dokázat jako větu, neboť přirozená čísla v ní nejsou elementární pojem, ale je třeba je zkonstruovat. Stejně tak v případě transfinitní indukce se jedná o věty (i když s poměrně snadným důkazem), které poskytují návod, jak při důkazu postupovat:

Verze první

Je-li X třída ordinálních čísel, pro kterou platí, že každou svou podmnožinu obsahuje zároveň jako prvek, pak je X shodná s třídou On všech ordinálních čísel.
${\displaystyle (X\subseteq On\land (\forall \alpha \in On)(\alpha \subseteq X\implies \alpha \in X))\implies X=On}$

Verze druhá

Pokud je X třída ordinálních čísel, která obsahuje prázdnou množinu, s každým ordinálem ${\displaystyle \alpha \,\!}$ zároveň ordinál ${\displaystyle \alpha +1\,\!}$ a pro každý limitní ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$, který je podmnožinou X platí, že ${\displaystyle \alpha \,\!}$ je zároveň prvkem X, pak tato třída X obsahuje všechna ordinální čísla, tj. X = On
Jinými slovy pokud platí následující čtyři podmínky, pak X = On:

1. ${\displaystyle X\subseteq On}$
2. ${\displaystyle \emptyset \in X}$
3. ${\displaystyle (\forall \alpha \in On)(\alpha \in X\implies \alpha \cup \{\alpha \}\in X)}$
4. pro každý limitní ordinál ${\displaystyle \alpha \,\!}$ platí ${\displaystyle \alpha \subseteq X\implies \alpha \in X}$

Příklad použití

Transfinitní indukce se používá při důkazu značného množství vět z ordinální aritmetiky, mimo jiné například při důkazu, že mocnění na ordinálních číslech je rozšířením mocnění na přirozených číslech:

1. ${\displaystyle (\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in On)(\alpha ^{\beta +\gamma }=\alpha ^{\beta }.\alpha ^{\gamma })}$
2. ${\displaystyle (\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in On)(\alpha ^{\beta .\gamma }=(\alpha ^{\beta })^{\gamma })}$

Důsledkem principu transfinitní indukce je princip transfinitní rekurze, tj. možnost jednoznačně definovat zobrazení na ordinálních číslech předpisem, který využívá pro výpočet ${\displaystyle \alpha \,\!}$-té hodnoty hodnot pro ordinální čísla menší než ${\displaystyle \alpha \,\!}$. (Je tomu obdobně, jako u běžného aritmetického principu matematické indukce, ze kterého vyplývá možnost používat rekurzi na přirozených číslech.)

Související články

• Transfinitní rekurze
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Teorie množin
• Peanova aritmetika
• Matematická indukce
• Fundovaná indukce