Tranzitivní uzávěr

Tranzitivní uzávěr binární relace R je definován jako nejmenší (z hlediska množinové inkluze) tranzitivní nadmnožina R.

Matematicky vyjádřeno, pro tranzitivní uzávěr R' binární relace R platí:

${\displaystyle R'=\cap _{M}[(R\subseteq M)\land (\forall a,b,c)(([a,b]\in M\land [b,c]\in M)\Rightarrow ([a,c]\in M))]}$

Příklad

Máme určit tranzitivní uzávěr relace R:

${\displaystyle R=\{(1,2),(2,3)\}}$

Relace R řiká, že existuje vztah mezi 1 a 2 a mezi 2 a 3. Abychom vytvořili tranzitivní relaci R', která zachová všechny prvky relace R, je třeba ji rozšířit o vztah mezi 1 a 3, tedy prvek ${\displaystyle (1,3)}$. Jelikož chceme co nejmenší takovou relaci R', nebudeme ji rozšiřovat o další prvky. Tranzitivní uzávěr tak bude:

${\displaystyle R'=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}}$