Trojúhelníková matice

Horní trujúhelníková matice může mít nenulové prvky pouze ve zvýrazněném trojúhelníku, tedy na hlavní diagonále (vyznačené tučně) a nad ní. Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice a horní trojúhelníkové matice . Regulární maticeLU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu je matice tvaru:

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: pro .

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: pro .

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí z angl. upper, případně - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

je horní trojúhelníková, zatímco

je dolní trojúhelníková.

Matice

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru a jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí , to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit , a tento postup se opakuje až pro . U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí , to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí , atd. až se dojde k .

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice s dolní trojúhelníkovou maticí s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

První rovnice obsahuje jedinou neznámou , a tak z ní lze přímo určit první složku řešení . Druhá rovnice se týká jen neznámých a , a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně, -tá rovnice obsahuje pouze neznámé , a proto z ní lze určit pomocí již dříve získaných hodnot neznámých . Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

  • Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
  • Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
  • Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
  • Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
  • Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
  • Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu matice . Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice řádu je roven
,
což je polynom stupně , jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě .

Algebraické vlastnosti

  • Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
  • Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
  • Trojúhelníková matice řádu může mít nejvýše nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel :

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Triangular matrix na anglické Wikipedii a Dreiecksmatrix na německé Wikipedii.

Literatura

  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • ZDENĚK, Dostál; VÍT, Vondrák. Lineární algebra [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 2012-04-24 [cit. 2022-04-05]. Kapitola 7.2 Trojúhelníkové matice, s. 51. Dostupné online. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Média použitá na této stránce

Upper triangular matrix.svg
Autor: Jirka Fiala, Licence: CC BY-SA 4.0
Upper triangular matrix