Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost je matematická věta: V každém trojúhelníku platí, že součet délek kterýchkoliv dvou stran je vždy větší než délka strany třetí.^[1] Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je používána v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ ve tvaru

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

${\displaystyle x\leq |x|}$ a zároveň

${\displaystyle -x\leq |x|}$.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ a sečteme-li je, dostáváme

${\displaystyle x+y\leq |x|+|y|}$ a

${\displaystyle -x-y\leq |x|+|y|}$.

Z definice absolutní hodnoty ${\displaystyle |x+y|}$ víme, že může nabývat jen hodnot ${\displaystyle x+y}$ nebo ${\displaystyle -x-y}$. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

V normovaném vektorovém prostoru ${\displaystyle V}$ s normou ${\displaystyle \|\cdot \|}$ má trojúhelníková nerovnost tvar

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

pro každé dva vektory ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle V}$.

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

V metrickém prostoru ${\displaystyle M}$ s metrikou ${\displaystyle d}$ má trojúhelníková nerovnost tvar:

${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

to jest, že vzdálenost ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle z}$ není větší než součet vzdálenosti z ${\displaystyle x}$ do ${\displaystyle y}$ a vzdálenosti z ${\displaystyle y}$ do ${\displaystyle z}$.

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

${\displaystyle \left||x|-|y|\right|\leq |x-y|}$ pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

${\displaystyle \left|\|x\|-\|y\|\right|\leq \|x-y\|}$ pro normované vektorové prostory a

${\displaystyle \left|d(x,y)-d(x,z)\right|\leq d(y,z)}$ pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce ${\displaystyle d(x,\cdot )}$ jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu trojúhelníková nerovnost na Wikimedia Commons