Uniformní prostor

Uniformní prostor je matematická struktura umožňující definici stejnoměrné konvergence a stejnoměrné spojitosti nezávisle na konkrétní metrice. Rozšiřuje pojem topologický prostor a poskytuje dostatečnou strukturu pro analýzu vztahů mezi body prostoru.

Uniformní prostor ${\displaystyle \mathbb {U} =(Y,U)}$ je matematická struktura tvořená:

• nosnou množinou ${\displaystyle Y}$,
• uniformní strukturou („uniformitou“) ${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(Y\times Y)}$, což je systém podmnožin kartézského součinu ${\displaystyle Y\times Y}$, splňující tyto axiomy:
  • Reflexivita: ${\displaystyle \Delta _{Y}=\{(y,y)\mid y\in Y\}\in U}$, tj. diagonála patří do uniformity.
  • Symetrie: Pro každé ${\displaystyle V\in U}$ platí ${\displaystyle V^{-1}=\{(y,z)\mid (z,y)\in V\}\in U}$.
  • Tranzitivita: Ke každé ${\displaystyle V\in U}$ existuje ${\displaystyle W\in U}$, takové že ${\displaystyle W\circ W\subseteq V}$, kde ${\displaystyle W\circ W=\{(y,z)\mid \exists u\in Y:(y,u)\in W{\text{ a }}(u,z)\in W\}}$.
  • Filtrační vlastnost: Pokud ${\displaystyle V,W\in U}$, pak existuje ${\displaystyle Z\in U}$, takové že ${\displaystyle Z\subseteq V\cap W}$.

Uniformní prostory zobecňují metrické prostory, ale nejsou tak konkrétní; umožňují studovat stejnoměrnou konvergenci a spojitost bez závislosti na metrice.

• Každý uniformní prostor ${\displaystyle (Y,U)}$ je zároveň topologický prostor, protože uniformita generuje topologii. Okolím bodu ${\displaystyle y\in Y}$ jsou množiny tvaru ${\displaystyle \{z\in Y\mid (y,z)\in V{\text{ pro nějaké }}V\in U\}}$.
• Každý metrický prostor ${\displaystyle (Y,d)}$ lze chápat jako uniformní prostor, kde uniformita obsahuje množiny tvaru ${\displaystyle \{(y,z)\mid d(y,z)<\varepsilon \}}$, ${\displaystyle \varepsilon >0}$, a všechny jejich nadmnožiny.

Uniformní struktura umožňuje definovat stejnoměrnou konvergenci následovně: Pro neprázdnou množinu ${\displaystyle X}$, množinu funkcí ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ z ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle Y}$ a funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$ platí, že ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ stejnoměrně konverguje k ${\displaystyle f}$, pokud ke každému ${\displaystyle V\in U}$ existuje ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$, takové že pro všechna ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ a ${\displaystyle x\in X}$ platí ${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))\in V}$.

Stejnoměrná spojitost je vlastnost funkcí mezi uniformními prostory, která zajišťuje, že "blízké" body v prvním prostoru jsou zobrazeny na "blízké" body ve druhém prostoru stejným způsobem, bez závislosti na konkrétním bodě. Na rozdíl od běžné spojitosti, která je lokální vlastností (spojitost v jednom bodu) stejnoměrná spojitost se týká chování celé funkce.

Formálně, funkce ${\displaystyle f:(X,U_{X})\to (Y,U_{Y})}$ mezi uniformními prostory je stejnoměrně spojitá, pokud pro každé ${\displaystyle V\in U_{Y}}$ existuje ${\displaystyle W\in U_{X}}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in W}$ platí ${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))\in V}$. Jinými slovy, blízkost dvojic bodů v prostoru ${\displaystyle X}$ podle uniformity ${\displaystyle U_{X}}$ zaručuje odpovídající blízkost jejich obrazů v prostoru ${\displaystyle Y}$.

Tato vlastnost v matematické analýze hraje klíčovou roli při studiu aproximací funkcí a zobecnění spojitosti.

Např. následující funkce jsou spojité, ale nikoli stejnoměrně:

• ${\displaystyle x^{2}}$ na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$,
• ${\displaystyle 1/x}$ na intervalu ${\displaystyle (0;1)}$,
• ${\displaystyle sin{\frac {1}{x}}}$ na ${\displaystyle (0;1)}$,
• ${\displaystyle x^{2}sin{\frac {1}{x^{3}}}}$ na ${\displaystyle \langle -1;1\rangle }$.

To plyne z toho, že je-li funkce na intervalu stejnoměrně spojitá a má v každém bodě derivaci, tato derivace je omezená.

Například ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ na celém ${\displaystyle \mathbb {R} }$ není stejnoměrně spojitá, protože existuje ${\displaystyle \varepsilon }$ (např. 1) takové, že pro sebemenší ${\displaystyle \delta }$ existuje tak velké ${\displaystyle x_{0}}$, že se některá čísla z ${\displaystyle \delta }$-okolí ${\displaystyle x_{0}}$ zobrazí mimo ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí ${\displaystyle f(x_{0})}$.

Koncept uniformních prostorů byl zaveden v první polovině 20. století jako zobecnění metrických prostorů. Klíčovými osobnostmi byli například André Weil a skupina Nicolase Bourbakiho.

Uniformní prostory poskytly nástroj pro zkoumání konvergence a spojitosti bez nutnosti specifické metriky. Pozdější vývoj zahrnoval jejich aplikace v teorii kategorií a homotopické teorii, kde byly užitečné pro studium vlastností nezávislých na konkrétní metrice či topologii.