Unitární grupa

Unitární grupa je v matematice množina všech unitárních transformací nějakého Hilbertova prostoru spolu s operací skládání. V konečněrozměrném případě se dá reprezentovat jako množina všech unitárních matic dimenze n spolu s násobením matic. Tato grupa se značí ${\displaystyle U(n)}$.

Podobně se definuje speciální unitární grupa SU(n) jako množina unitárních matic s determinantem rovným jedné.

Vnoření unitárních matic do prostoru všech matic ${\displaystyle n\times n}$ definuje na unitární matici strukturu reálné hladké variety. Jedná se tedy o reálnou Lieovu grupu.

Vlastnosti

Unitární grupa je kompaktní a souvislá Lieova grupa (ačkoliv se skládá z komplexních matic, jedná se pouze o reálnou Lieovu grupu). Její dimenze je ${\displaystyle n^{2}}$. Fundamentální grupu má izomorfní ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Komplexifikace této grupy je celá obecná lineární grupa GL(n,C).

Jako grupa je U(n) izomorfní ${\displaystyle SU(n)\times U(1)}$ a U(1) je izomorfní jednotkovým komplexním číslům s operací násobení. Grupa SU(n) je jednoduchá pro ${\displaystyle n\geq 2}$ a je také jednoduše souvislá.

Grupa ${\displaystyle U(1)}$ je izomorfní ortogonální grupě ${\displaystyle SO(2)}$.

Grupa ${\displaystyle SU(2)}$ je topologická sféra dimenze 3 a jako grupa je izomorfní jednotkovým kvaternionům. Existuje surjektivní homomorfizmus

${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$

takový, že každý prvek SO(3) má právě dva vzory, které se liší jenom znaménkem.