Usměrňování zlomku

Usměrňování zlomku je matematický postup, jehož cílem je odstranění odmocniny nebo výrazu (obsahující odmocniny) ze jmenovatele zlomku při zachování jeho hodnoty.

Princip usměrnění

Usměrnění se provádí rozšířením zlomku o vhodný výraz, tj. vynásobením čitatele i jmenovatele shodným výrazem (odmocninou nebo výrazem s odmocninou). Vychází z faktu:

• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {x}{x}}={\frac {a\cdot x}{b\cdot x}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x}}.{\sqrt {x}}=x}$^[1]

Částečné odmocnění

Částečné odmocňování je zmenšení čísla pod odmocninou. Číslo pod odmocninou se rozloží na součin dvou čísel (odmocnina z daného čísla musí být vždy celé číslo). Pokud není, pokračujeme v rozkladu až na součin prvočísel. Platí: ${\displaystyle \surd a^{2}=|a|}$; pro všechna a patřící do oboru reálných čísel.^[2]

Příklady:

${\textstyle {\sqrt {12}}={\sqrt {4.3}}=2.{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {18}}}={\frac {3}{\sqrt {2.9}}}={\frac {3}{3{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ; pak je třeba zlomek usměrnit viz příklad1

Příklady

Příklad 1 – odmocnina ve jmenovateli

Usměrnění zlomku ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$:

Řešení: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}={\frac {1\cdot {\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}$

Příklad 2 – číselný výraz ve jmenovateli

Usměrnění zlomku ${\displaystyle {\frac {5}{1+{\sqrt {5}}}}}$:

Je použit vzorec ${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}\,\!}$; kde ${\displaystyle a=1;b={\sqrt {5}}}$ při řešení:

Řešení: ${\displaystyle {\frac {5}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {5}{1+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{1-{\sqrt {5}}}}={\frac {5\cdot (1-{\sqrt {5}})}{(1+{\sqrt {5}})\cdot (1-{\sqrt {5}})}}={\frac {5\cdot (1-{\sqrt {5}})}{1-5}}={\frac {5}{-4}}\cdot (1-{\sqrt {5}})}$

Poznámka: Výsledek lze ve tvaru součinu použít k dalším matematickým operacím. Jedná-li se o výsledek, pak je třeba upravit číselný výraz roznásobením.^[3]

Příklad 3 – vyšší odmocniny

Usměrnění zlomku (lomeného výrazu): ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}}$ :

Řešení: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{x}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\sqrt[{3}]{x^{3}}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x^{2}}}{x}}}$ ; použity operace s reálným mocnitelem ${\displaystyle a^{\frac {1}{3}}.a^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{a}}.{\sqrt[{3}]{a^{2}}}=a^{{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}}=a}$ viz mocnina

Příklad 4 – lomený výraz

Usměrnění algebraického výrazu ${\displaystyle {\frac {x}{\pi ({\sqrt {r}}-{\sqrt {x}})}}}$:

Řešení je obdobné, jako v předchozím případě:

${\displaystyle {\frac {x}{\pi ({\sqrt {r}}-{\sqrt {x}})}}={\frac {x}{\pi ({\sqrt {r}}-{\sqrt {x}})}}\cdot {\frac {{\sqrt {r}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {x\cdot ({\sqrt {r}}+{\sqrt {x}})}{\pi \cdot (r-x)}}}$

Při úpravě lomeného výrazu musí být splněny podmínky, kdy je výraz definován (např. zde nesmí být ${\displaystyle {\sqrt {r}}+{\sqrt {x}}=0\,\!}$, což platí v oboru reálných čísel.

Příklad 5 – komplexní čísla

Usměrnění resp. dělení komplexním číslem: ${\displaystyle {\frac {2+3i}{1-4i}}}$:

Řešení: ${\displaystyle {\frac {2+3i}{1-4i}}.{\frac {1+4i}{1+4i}}={\frac {2+8i+3i-12}{1+16}}={\frac {-10+11i}{17}}=-{\frac {10}{17}}+{\frac {11}{17}}i}$^[4]

Reference

Související články

• Racionální číslo
• Algebraický výraz
• Odmocnina
• Zlomek