Uzávěr (logika)

Uzávěr (operátor konsekvence) na množině S je v logice funkce ${\displaystyle \operatorname {Cn} :P(S)\rightarrow P(S)}$ splňující podmínky

• ${\displaystyle X\subseteq \operatorname {Cn} (X)}$
• ${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {Cn} (X)\subseteq \operatorname {Cn} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cn} (X)=\operatorname {Cn(Cn} (X))}$

Používá se v algebraické logice k formalizaci konceptu vyplývání, platí tedy

${\displaystyle \operatorname {Cn} (\Gamma )=\{\varphi |\Gamma \vdash \varphi \}{\text{, resp. }}\varphi \in \operatorname {Cn} (\Gamma )\equiv \Gamma \vdash \varphi }$

Někdy je vyžadována ještě kompaktnost, tedy

${\displaystyle \operatorname {Cn} (X)=\bigcup \{\operatorname {Cn} (Y)|Y\in P_{\omega }(X)\}}$

Množina všech tautologií je ${\displaystyle \operatorname {Cn} (\varnothing )}$. T je sporná, pokud ${\displaystyle \operatorname {Cn} (T)=S}$. Pevné body funkce Cn se nazývají teoriemi. Bezesporná teorie T je úplná, pokud ${\displaystyle (\forall Q\subseteq S)T\subsetneq Q\Rightarrow \operatorname {Cn} (Q)=S}$.