Válec

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec

Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti

• Pro objem rotačního válce platí

${\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\implies \,h=V/(\pi r^{2})}$

kde ${\displaystyle r}$ je poloměr podstavy a ${\displaystyle h}$ je výška válce.

• Obsah pláště rotačního válce je

${\displaystyle Q=2\pi rh\,}$, obsah podstavy je

${\displaystyle P=\pi r^{2}\,}$

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

${\displaystyle S=2\pi r(r+h)\,}$

• Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
• Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Válcová plocha a prostor

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku ${\displaystyle k}$, která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky ${\displaystyle k}$, tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Eliptický kvadratický válec

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině ${\displaystyle z=0}$ s rovnicí ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou ${\displaystyle z}$.

Pro ${\displaystyle a=b}$ se jedná o rotační válec s osou rotace ${\displaystyle z}$.

Hyperbolický kvadratický válec

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině ${\displaystyle z=0}$ s rovnicí ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou ${\displaystyle z}$.

Parabolický kvadratický válec

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

${\displaystyle y^{2}=2px}$

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině ${\displaystyle z=0}$ s rovnicí ${\displaystyle y^{2}=2px}$ a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou ${\displaystyle z}$.

Obecný válec

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině ${\displaystyle z=0}$ a má rovnici ${\displaystyle f(x,y)=0}$, a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou ${\displaystyle z}$, lze zapsat rovnicí

${\displaystyle f(x,y)=0}$

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$, pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

${\displaystyle F(a_{3}x-a_{1}z,a_{3}y-a_{2}z)=0}$

Vlastnosti

Objem válce určíme ze vztahu

${\displaystyle V=Sh}$,

kde ${\displaystyle S}$ je obsah podstavy a ${\displaystyle h}$ je hloubka válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem

${\displaystyle P=2S+Q}$,

kde ${\displaystyle S}$ je obsah podstavy a ${\displaystyle Q}$ je obsah pláště válce.

Odkazy

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351

Související články

• Geometrický útvar
• Kvadratická plocha
• Oblá tělesa
• Mnohostěn
• Kruh
• Válcová soustava souřadnic

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu válec na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo válec ve Wikislovníku
• Povrch válce na MATHguide
• Objem válce na MATHguide
• Spinning Cylinder na Math Is Fun
• Objem válce animace na Math Open Reference
• Řez válcem