Vícerozměrný integrál je a určitý integrálreálné funkcevíce proměnných na dané množině. Zapisuje se , kde funkce se nazývá integrand[1] a je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na
Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce.[pozn. 1]
Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.
Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.
Dvojný integrál na obdélníku
Pro mějme funkci .
Rozdělíme-li každý z intervalů na konečnou množinu disjunktníchpodintervalů, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů , pro které platí .
Jestliže je f is Riemannovsky integrovatelná, tak S se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce f na intervalu I a píše se
.
Na měřitelné množině
Buď funkce omezená na neprázdné měřitelné množině. Řekneme, že funkce je na množině (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce definovaná předpisem [pozn. 2]
integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu takovém, že .
Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce na množině pak rozumíme číslo .[4][pozn. 3]
Pro prázdnou množinu definujeme pro každou funkci .[4]
Speciální případy
V případě, že , tak se nazývá dvojný integrál funkce f na M, dále pro je trojný integrál funkce f na M.
↑Tato definice nezávisí na volbě intervalu takového, že .[4]
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiple integral na anglické Wikipedii.
↑MATEMATICKÁ ANALÝZA pro FIT [online]. Brno: VUT [cit. 2022-10-11]. S. 145. Dostupné online.
↑Jan Čepička, Petr Girg, Petr Nečesal, Josef Polák. Herbář funkcí [online]. Ostrava: VŠB TUO, 2011 [cit. 2022-10-11]. Dostupné online.
↑RUDIN, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. vyd. [s.l.]: McGraw–Hill (Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics). Dostupné online. ISBN978-0-07-054235-8. (anglicky)Je zde použita šablona {{Cite book}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
↑ abcdVODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 13. června 2012 [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině, s. 11. Dostupné online.
↑VODSTRČIL, Petr; BOUCHALA, JIří. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH [online]. [cit. 2022-11-11]. Kapitola 1.2 Dvojný integrál na intervalu, s. 5.