Věta o dimenzích jádra a obrazu

Věta o dimenzích jádra a obrazu^[1] též zvaná věta o hodnosti a defektu^[2] či věta o hodnosti a nulitě^[3] je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí jistých podprostorů vektorového prostoru.

Větu lze zformulovat pro lineární zobrazení:

• je-li dimenze definičního oboru libovolného lineárního zobrazení konečná, potom je rovna součtu dimenze jeho jádra a dimenze jeho oboru hodnot;

a analogicky i pro matice:

• počet sloupců libovolné matice je roven součtu její hodnosti a její nulity.

V důsledku pak platí, že lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je izomorfismem, právě když je prosté (injektivní) nebo je na (surjektivní).

Nechť ${\displaystyle f:V\to W}$ je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor ${\displaystyle V}$ má konečnou dimenzi. Pak platí:

${\displaystyle \dim f(V)+\dim \operatorname {ker} f=\dim V}$,

kde ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$ značí jádro zobrazení ${\displaystyle f}$ a symbol ${\displaystyle f(V)}$ značí podprostor prostoru ${\displaystyle W}$ shodný s oborem hodnot zobrazení ${\displaystyle f}$.

Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ odpovídá lineárnímu zobrazení ${\displaystyle f:T^{n}\to T^{m}}$ danému předpisem ${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {Ax}}}$. Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení ${\displaystyle f:T^{n}\to T^{m}}$ lze nalézt matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, aby platilo totéž.

Dimenze definičního oboru zobrazení ${\displaystyle f}$ je ${\displaystyle n}$, což je počet sloupců matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a věta o hodnosti a nulitě pro matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ odpovídá vzathu:

${\displaystyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\dim \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=n}$.

Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech: prostory ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ nemusí být aritmetické ${\displaystyle T^{n}}$, resp. ${\displaystyle T^{m}}$, a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí ${\displaystyle W}$ být konečná.

Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot ${\displaystyle f(V)}$ je ve ${\displaystyle W}$ podprostorem konečné dimenze. Pro ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle f(V)}$ lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní ${\displaystyle T^{n}}$ a ${\displaystyle T^{m}}$, a pak zobrazení ${\displaystyle f}$ reprezentovat maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Volba báze prostoru ${\displaystyle V}$ udává i izomorfismus mezi jádry ${\displaystyle \ker f}$ a ${\displaystyle \ker {\boldsymbol {A}}}$, a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.

Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

${\displaystyle \dim f(\mathbb {R} ^{3})+\dim \operatorname {ker} f=2+1=3=\dim \mathbb {R} ^{3}}$.

Zmíněnému zobrazení ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}$ odpovídá matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru ${\displaystyle (0,0,1)^{\mathrm {T} }}$, což je podprostor prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dimenze 1.

Maticová verze věty odpovídá rovnosti:

${\displaystyle \operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}+\dim \operatorname {ker} {\boldsymbol {A}}=2+1=3}$,

přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Hodnost matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců. Její jádro je tvořeno množinou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic ${\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}={\boldsymbol {0}}}$.

Z vypočtu hodnosti i z řešení Gaussovou eliminací vyplývá, že hodnost odpovídá počtu bázických proměnných, zatímco dimenze jádra počtu volných proměnných. Každá proměnná odpovídá jednomu sloupci matice.

Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.

Nechť ${\displaystyle V,W}$ jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem ${\displaystyle T}$, kde ${\displaystyle \dim V=n}$, a nechť ${\displaystyle f}$ je lineární zobrazení z ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle W}$.

Protože ${\displaystyle \operatorname {ker} f}$ je podprostorem prostoru ${\displaystyle V}$, má nějakou bázi ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}}$, kde ${\displaystyle k=\dim \operatorname {ker} f}$.

Pomocí Steinitzovy věty o výměně lze rozšířit množinu vektorů ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\}}$ o celkem ${\displaystyle n-k}$ lineárně nezávislých vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}}$ na bázi prostoru ${\displaystyle V}$.

Zbývá ověřit, že množina ${\displaystyle \{f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})\}}$ je jednou z možných bází prostoru ${\displaystyle f(V)}$.

Pro libovolný vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in f(V)}$ existuje alespoň jeden vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V}$ takový, že ${\displaystyle f({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {w}}}$. Vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}}$ s koeficienty ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}$

Protože ${\displaystyle f}$ je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ vyjádřit výrazem:

${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=f({\boldsymbol {u}})=f\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})+\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})}$,

a tak vektory ${\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})}$ generují prostor ${\displaystyle f(V)}$.

Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}}$ tvoří bázi jádra ${\displaystyle \operatorname {ker} f}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})=\sum _{i=1}^{k}a_{i}{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}}$

V hypotetické situaci, kdyby vektory ${\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})}$ netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty ${\displaystyle b_{k+1},\dots ,b_{n}}$ netriviální lineární kombinace takové, že:

${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{n}b_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})={\boldsymbol {0}}}$

Potom by vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$, daný výrazem ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}$, byl netriviálním prvkem jádra, protože:

${\displaystyle f({\boldsymbol {u}})=f\left(\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\right)=\sum _{i=k+1}^{n}a_{i}f({\boldsymbol {v}}_{i})={\boldsymbol {0}}}$

Ovšem ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}}$. V důsledku by vektory ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}}$ netvořily bázi prostoru ${\displaystyle V}$, protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}b_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}={\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}}$

Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory ${\displaystyle f({\boldsymbol {v}}_{k+1}),\ldots ,f({\boldsymbol {v}}_{n})}$ byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru ${\displaystyle f(V)}$.

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

${\displaystyle \dim f(V)+\dim \operatorname {ker} f=(n-k)+k=n=\dim V}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rank–nullity theorem na anglické Wikipedii.

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

• Vektorový prostor
• Lineární zobrazení
• Matice
• Soustava lineárních rovnic