Věta o kritické přímce

Věta o kritické přímce je matematická věta tvrdící, že jisté, nenulové procento netriviálních nul Riemannovy funkce zeta leží na kritické přímce Re(s) = 1/2.

Základní pojmy

Podrobnější informace naleznete v článcích Riemannova funkce zeta a Riemannova hypotéza.

Riemannova funkce zeta vznikne holomorfním rozšířením funkce na celou komplexní rovinu s výjimkou bodu s = 1. Takto definovaná funkce nabývá nulové hodnoty v každém záporném sudém čísle. Tato čísla se nazývají triviální nuly Riemannovy zeta-funkce. Ostatní body, v nichž je funkce nulová, se nazývají netriviální nuly. Podle Riemannovy hypotézy mají všechny netriviální nuly funkce zeta reálnou část rovnou 1/2, tedy leží na přímce {s | Re(s) = 1/2} v komplexní rovině. Tato přímka se nazývá kritická přímka.

Historie

První verzi věty o kritické přímce (pro jisté malé procento) dokázal Atle Selberg, čímž značně vylepšil do té doby nejsilnější známý výsledek Hardyho a Littlewooda, podle kterých leží na kritické přímce nekonečně mnoho netriviálních nul.

Norman Levinson vylepšil odhad ve větě na jednu třetinu nul,[1] a Conrey na dvě pětiny.[2]

Vztah k Riemannově hypotéze

Související informace naleznete také v článku Riemannova hypotéza.

Větu o kritické přímce lze považovat za částečné (slabé) řešení Riemannovy hypotézy. Důsledkem Riemannovy hypotézy je, že skutečná hodnota se rovná 1. Ovšem opačná implikace neplatí – tvrzení, že skoro všechny netriviální nuly leží na kritické přímce, pro důkaz Riemannovy hypotézy nestačí.

Odkazy

Reference

  1. ↑ Levinson, N., More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2, Adv. in Math. 13 (1974), 383-436
  2. ↑ Conrey, J. B., More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line, J. reine angew. Math. 399 (1989), 1-16

Externí odkazy