Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce ${\displaystyle f(x)\,}$ je spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, má derivaci v každém bodě intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ a platí ${\displaystyle f(a)=f(b)\,}$. Pak existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takový, že ${\displaystyle f^{\prime }(c)=0}$.

Geometrický význam

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ bod, v němž je tečna ke grafu funkce ${\displaystyle f(x)\,}$ rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce ${\displaystyle f(x)\,}$ je spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a má v každém bodě intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ derivaci. Pak existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takový, že platí ${\displaystyle f^{\prime }(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

Protože je derivace ${\displaystyle f'(x)}$ v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit, že pro ${\displaystyle f(x)}$ platí:

• ${\displaystyle f'(c)>0\Rightarrow f(x)}$ je v tomto bodě rostoucí
• ${\displaystyle f'(c)<0\Rightarrow f(x)}$ je v tomto bodě klesající

Geometrický význam

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ existuje bod ${\displaystyle c\,}$, v němž je tečna k funkci ${\displaystyle f(x)\,}$ rovnoběžná s přímkou vedenou body ${\displaystyle (a,f(a))\,}$ a ${\displaystyle (b,f(b))\,}$.

Fyzikální význam

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce ${\displaystyle f(x),g(x)\,}$ jsou spojité na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, mají v každém bodě ${\displaystyle x\,}$ intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ vlastní derivaci a nechť pro všechna ${\displaystyle x\in (a,b)}$ platí ${\displaystyle g^{\prime }(x)\neq 0}$. Pak existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takový, že platí ${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$.

Důkaz

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou ${\displaystyle g(x)=x\,}$. Protože ${\displaystyle g^{\prime }(x)\neq 0}$ pro všechna ${\displaystyle x\in (a,b)}$, je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

${\displaystyle F(x)=-f(x)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}$.

Funkce ${\displaystyle F\,}$ je zřejmě spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, má derivaci na intervalu ${\displaystyle (a,b)\,}$ a ${\displaystyle F(a)=F(b)=-f(a)\,}$. ${\displaystyle F\,}$ splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takové, že

${\displaystyle 0=F^{\prime }(c)=-f^{\prime }(c)+{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g^{\prime }(c)}$

Dle předpokladu je ${\displaystyle g^{\prime }(c)\neq 0}$ a tedy

${\displaystyle {\frac {f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}$.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu na Wikimedia Commons