Van Wijngaardenova transformace

Van Wijngaardenova transformace je v matematice a numerické matematice varianta Eulerovy transformace používané pro zrychlení konvergence alternujících řad.

Jeden z algoritmů pro výpočet Eulerovy transformace funguje takto:

Vypočítá řádek částečných součtů $s_{0,k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}$ a vytváří řádky průměrů mezi sousedy $s_{j+1,k}={\frac {s_{j,k}+s_{j,k+1}}{2}}$ První sloupec $s_{j,0}$ pak obsahuje částečné součty z Eulerovy transformace.

Přínos Adriaana van Wijngaardena spočívá v tom, že upozornil, že je lepší neprovádět tento postup až do úplného konce, ale zastavit jej ve dvou třetinách.^[1] Pokud jsou známy členy $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{12}$ , pak $s_{8,4}$ je skoro vždy lepší aproximací součtu než $s_{12,0}$ . V mnoha případech diagonální členy v jednom cyklu nekonvergují, takže průměrování je třeba zopakovat s diagonálními členy umístěnými do řádku. (To bude potřebné v geometrické řadě s kvocientem $-4$ .) Tento proces opakovaného průměrování částečných součtů může být nahrazen použitím vzorce pro výpočet diagonálního členu.

Příklad

Jednoduchým příkladem je Leibnizův vzorec pro výpočet čísla pí

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}=0.7853981\ldots$

(1)

Výše popsaný algoritmus vytvoří následující tabulku:

Výpočet Eulerovy transformace (1);^[2] zvýrazněné hodnoty jsou závěrečné výsledky
1.00000000	0.66666667	0.86666667	0.72380952	0.83492063	0.74401154	0.82093462	0.75426795	0.81309148	0.76045990	0.80807895	0.76460069	0.80460069
0.83333333	0.76666667	0.79523810	0.77936508	0.78946609	0.78247308	0.78760129	0.78367972	0.78677569	0.78426943	0.78633982	0.78460069
0.80000000	0.78095238	0.78730159	0.78441558	0.78596959	0.78503719	0.78564050	0.78522771	0.78552256	0.78530463	0.78547026
0.79047619	0.78412698	0.78585859	0.78519259	0.78550339	0.78533884	0.78543410	0.78537513	0.78541359	0.78538744
0.78730159	0.78499278	0.78552559	0.78534799	0.78542111	0.78538647	0.78540462	0.78539436	0.78540052
0.78614719	0.78525919	0.78543679	0.78538455	0.78540379	0.78539555	0.78539949	0.78539744
0.78570319	0.78534799	0.78541067	0.78539417	0.78539967	0.78539752	0.78539847
0.78552559	0.78537933	0.78540242	0.78539692	0.78539860	0.78539799
0.78545246	0.78539087	0.78539967	0.78539776	0.78539829
0.78542166	0.78539527	0.78539871	0.78539803
0.78540847	0.78539699	0.78539837
0.78540273	0.78539768
0.78540021

To odpovídá následujícím výstupům:

Přesnost výsledku
Algoritmus	Použitý člen	Hodnota ${\frac {\pi }{4}}$	Relativní chyba
Naivní částečné součty	$s_{0,12}$	0.8046006...	+2,4%
Eulerova transformace	$s_{12,0}$	0.7854002...	+2,6×10⁻⁶
van Wijngaardenova transformace	$s_{8,4}$	0.7853982...	+4,7×10⁻⁸

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Van Wijngaarden transformation na anglické Wikipedii.

↑ van Wijngaarden 1965, s. 51-60.
↑ Hodnoty spočítané v jazyce J z výrazu 'b11.8'8!:2-:&(}:+}.)^:n+/\(_1^n)*%1+2*n=.i.13

Litaratura

VAN WIJNGAARDEN, Adriaan. Cursus: Wetenschappelijk Rekenen B, Proces Analyse. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, 1965. (nizozemsky)

Související články

Eulerova sumace

[FOOTNOTEvan_Wijngaarden196551-60-1] van Wijngaarden 1965, s. 51-60.

[2] Hodnoty spočítané v jazyce J z výrazu 'b11.8'8!:2-:&(}:+}.)^:n+/\(_1^n)*%1+2*n=.i.13

[1]

[2]

Navigation

Navigace

Tématické portály