Rozptyl (statistika)

Rozptyl (též střední kvadratická odchylka, střední kvadratická fluktuace, variance nebo také disperze) se používá v teorii pravděpodobnosti a statistice. Je to druhý centrální moment náhodné veličiny.^[1] Jedná se o charakteristiku variability rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která vyjadřuje variabilitu rozdělení souboru náhodných hodnot kolem její střední hodnoty.

Rozptyl náhodné veličiny ${\displaystyle X}$ se označuje ${\displaystyle \sigma ^{2}(X)}$, ${\displaystyle S^{2}(X)}$, ${\displaystyle D(X)}$ nebo ${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$.

Definice

Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje směrodatná odchylka ${\displaystyle \sigma }$.

Pro diskrétní náhodnou veličinu je definován následujícím vztahem

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\left[x_{i}-\operatorname {E} (X)\right]}^{2}p_{i}}$,

kde ${\displaystyle x_{i}}$ jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina ${\displaystyle X}$ nabývat (s pravděpodobnostmi ${\displaystyle p_{i}}$) a ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ je střední hodnota veličiny ${\displaystyle X}$.

Je-li pravděpodobnost všech diskrétních hodnot stejná, pak se předchozí vztah zjednoduší na

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left[x_{i}-\operatorname {E} (X)\right]}^{2}}$

kde n je počet prvků souboru.

Pro spojitou náhodnou veličinu je rozptyl definován vztahem

${\displaystyle \sigma ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }{\left[x-\operatorname {E} (X)\right]}^{2}p(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}p(x)\,\mathrm {d} x-{[\operatorname {E} (X)]}^{2}}$,

kde ${\displaystyle p(x)}$ je hustota pravděpodobnosti veličiny ${\displaystyle X}$.

Vlastnosti

Pro rozptyl součinu náhodné veličiny ${\displaystyle X}$ a konstanty ${\displaystyle a}$ platí

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX)=a^{2}\sigma ^{2}(X)\,}$

Rozptyl náhodné veličiny je invariantní vůči posunu ${\displaystyle b}$, tedy

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX+b)=a^{2}\sigma ^{2}(X)\,}$

Rozptyl součtu i rozdílu náhodných veličin ${\displaystyle X,Y}$ je roven

${\displaystyle \sigma ^{2}(X\pm Y)=\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}(aX\pm bY)=a^{2}\sigma ^{2}(X)+b^{2}\sigma ^{2}(Y)\pm 2ab\operatorname {Cov} (X,Y)}$,

kde ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)}$ značí kovarianci veličin ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$.

Pokud jsou náhodné veličiny nezávislé, jejich kovariance je nulová, a tedy rozptyl součtu (rozdílu) je roven součtu rozptylů jednotlivých náhodných veličin.

Obdobná tvrzení platí také pro rozptyl součtu většího počtu náhodných veličin.

Pro výpočet rozptylu se často používá následující vztah

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\operatorname {E} (X^{2})-{[\operatorname {E} (X)]}^{2}}$

Příklad u kostky

Mějme kostku a náhodnou veličinu ${\displaystyle X}$, která přiřadí každému z šesti možných jevů takové číslo, kolik puntíků je v daném jevu na horní straně kostky (čísla 1 až 6). Máme 6 jevů s pravděpodobností ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ a střední hodnota (průměr) je 3,5. Kvadrát rozptylu veličiny ${\displaystyle X}$ lze pak podle vztahů výše vypočítat jako

${\displaystyle \sigma ^{2}(X)={\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{6}(x_{i}-3,5)^{2}={\frac {1}{6}}({(1-3,5)}^{2}+{(2-3,5)}^{2}+{(3-3,5)}^{2}+{(4-3,5)}^{2}+{(5-3,5)}^{2}+{(6-3,5)}^{2})={\frac {17,5}{6}}\doteq 2,92}$

Variance (volatilita) u hazardních her

U hazardních her je variance čili volatilita mírou rozptylu dosahovaných výher. U her s nízkou variancí se vyskytují se menší, ale časté výhry, rozpočet hráče se obvykle mění celkem rovnoměrně. Naopak hráč hry s vysokou variancí většinou prohrává, ale pokud přijde výhra, bude vysoká. Ve hře s vysokou variancí tak lze vyhrát uspokojivou částku již v jednom kole, ale zároveň většina hráčů svůj počáteční kapitál prohraje rychleji, po menším počtu kol. Například varianci výherních automatů výrobci klasifikují slovy nízká, střední nebo vysoká.

Reference

Související články

• Směrodatná odchylka
• Střední odchylka
• Charakteristika náhodné veličiny

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu rozptyl na Wikimedia Commons