Varieta algeber

Varieta algeber je pojem z univerzální algebry. Budiž ${\displaystyle \sigma }$ signatura. Označme ${\displaystyle \mathbb {A} _{\sigma }}$ třídu všech algeber s touto signaturou. Potom se třída ${\displaystyle \mathbb {B} \subseteq \mathbb {A} }$ nazývá varietou, pokud existuje soustava identit takových, že do ${\displaystyle \mathbb {B} }$ spadají právě ty algebry z ${\displaystyle \mathbb {A} }$, které tyto identity splňují. Identita je zápis vyžadující rovnost dvou termů (viz příklad).

Neformální úvod

Abstraktní algebra dokazuje věty, které platí pro jednotlivé algebraické struktury (např. větu platnou pro každou grupu, nebo jinou větu platnou pro každý svaz či lineární prostor atd.) a pak není třeba je dokazovat zvlášť pro jednotlivé grupy, svazy apod.

Univerzální algebra je sjednocující podobor abstraktní algebry; zkoumá věty, které platí v každé algebraické struktuře. Aby bylo možno pracovat jednotně s různými strukturami, které mají různý počet a aritu operací, zavádí se pojem signatura, takže například každá grupa je algebra se signaturou ${\displaystyle (\,(\circ ,2),\,(e,0),\,(^{-1},1)\,)\,\!}$ a každý okruh je algebra se signaturou ${\displaystyle (\,(+,2),\,(.,2),\,(-,1),\,(0,0),(1,0)\,)\,\!}$. Signatura je tedy seznam symbolů s uvedenou aritou.

Pokud nějaká věta univerzální algebry (např. věty o izomorfismu) platí pro algebru jakékoli signatury, není již třeba ji ověřovat zvlášť pro grupy, zvlášť pro okruhy, svazy, lineární prostory apod.

Mnohé věty univerzální algebry něco tvrdí o varietách algeber. Ne každá algebra s grupovou signaturou je grupou (například grupou není struktura, kde neplatí asociativita) a podobně ne každá algebra s tělesovou signaturou je tělesem. Třída všech těles varietu netvoří, neboť ji nelze vymezit soustavou identit. Třída všech grup však varietu tvoří, neboť ji lze mezi všemi algebrami s grupovou signaturou vymezit následující soustavou identit:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\a\circ e&=a\\e\circ a&=a\\a\circ a^{-1}&=e\\a^{-1}\circ a&=e\\\end{aligned}}}$

Varieta je tedy taková třída algeber, kterou lze vymezit soustavou identit; identita je formule požadující rovnost dvou termů.

Birkhoffova věta

Birkhoffova věta říká, že třída algeber dané signatury je varietou právě tehdy, pokud je uzavřená na podalgebry, homomorfní obrazy a direktní součiny.

Tuto větu lze použít k prokázání, že nějaká třída varietou není, příklad viz (viz níže).

Příklady variet

Grupy jako varieta

Třída všech grup je varietou, neboť struktura s touto signaturou (která obsahuje operace ${\displaystyle \circ ,^{-1},e}$) je grupou právě tehdy, když splňuje tuto soustavu identit:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\a\circ e&=a\\e\circ a&=a\\a\circ a^{-1}&=e\\a^{-1}\circ a&=e\\\end{aligned}}}$

Pojem grupa je ovšem možné definovat i jako strukturu s jednou binární operací. Potom je nutné některé podmínky formulovat jinak, například

${\displaystyle \exists a\forall b:a\circ b=b}$

To již není identita (tj. rovnost dvou termů), nýbrž složitější formule prvního řádu. Proto třída všech grup netvoří varietu, pokud ji reprezentujeme touto signaturou s jedinou operací.

Abychom však dokázali, že varietu netvoří, musíme ukázat, že neexistuje ani žádná jiná soustava identit, které by přesně popsaly třídu všech grup. K tomu lze využít Birkhoffovu větu: Kdyby taková soustava v této signatuře existovala, pak podalgebrou grupy byla opět grupa, to však neplatí: Přirozená čísla (včetně nuly) se sčítáním jsou podalgebrou celých čísel se sčítáním.

Okruhy a tělesa

Třída všech okruhů tvoří varietu, neboť všechny podmínky v jejich definici lze zapsat jako identity. (I zde platí, že pojem okruh lze chápat jako strukturu jen se dvěma binárními operacemi "+" a "⋅", ale v této zmenšené signatuře nebude tvořit varietu.)

Třída všech těles však varietou není, neboť následující podmínka není identitou:

${\displaystyle x\neq 0\to \exists y:x\cdot y=1}$

Abychom ukázali, že skutečně nejde o varietu, využijme opět Birkhoffovu větu: variety jsou uzavřené na direktní součiny. Direktní součin dvou kopií reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ je sice okruhem, ale ne tělesem. Abychom to ukázali, je potřeba si uvědomit, že v direktním součinu je sčítání i násobení definováno po složkách (a, b) ⋅ (c, d) = (a⋅c, b⋅d) Jeho jednotkou (tedy neutrálním prvkem vůči násobení) je prvek (1,1). Prvek (0,1) není totožný s nulou tohoto tělesa, tj. neutrálním prvkem při sčítání; tím je prvek (0,0). Přesto však (0,1) nemá inverzní prvek při násobení, což u tělesa připouštíme jen u neutrální prvku ke sčítání. Pro žádná reálná čísla a, b neplatí (a, b) ⋅ (0,1) = (1,1).

Tím je prokázáno, že tělesa netvoří varietu; platí však ještě silnější tvrzení: žádný direktní součin dvou či více těles nemůže být tělesem.