Vektorový prostor

Vektorový prostor (též lineární prostor, anglicky vector space) je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných resp. komplexních čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako komutativita, asociativita či distributivita. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (anglicky vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru skalárem. Navazujícími prostory jsou:

• Unitární prostor - je vektorový prostor s dodefinovaným skalárním součinem vektorů, jakožto symetrické pozitivně definitní bilineární formy na vektorovém prostoru,
• Afinní prostor - doplnění vektorového prostoru o množinu bodů a operaci sčítání bodu s vektorem tak, že pro každé dva body existuje právě jeden vektor, kterým jsou zmíněné body zaměřeny,
• Euklidovský prostor - je afinní prostor, jehož zaměřením je unitární prostor,
• Banachův prostor - je normovaný vektorový prostor, který je úplný,
• Hilbertův prostor - je unitární Banachův prostor, jehož prvky jsou vektory např. Lebesgueovsky měřitelných komplexních funkcí.

S konceptem vektorového prostoru se lze setkat v nejrůznějších odvětvích matematiky i fyziky. Tvoří základ, v rámci něhož lze elegantně popisovat a řešit jak úlohy numerické matematiky, tak třeba i úlohy chování fyzikálních systémů v klasické (Euklidovský prostor) či kvantové mechanice (Hilbertův prostor).

Vektorový prostor je poměrně mladý matematický pojem, který vznikl abstrakcí dosud známých matematických objektů jako byly matice, soustavy lineárních rovnic nebo vektory ve fyzice. Podobně jako u samotné lineární algebry lze jeho vznik klást do konce devatenáctého a počátku dvacátého století. Slovo vektor pak pochází z latinského vector znamenající nosič. Oproti skaláru se totiž vyznačuje navíc tím, že "nese" i směr.

První náznak pojmu vektorového prostoru lze najít v díle Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik od Hermanna Grassmanna z roku 1844^[1]. Jeho práce však zůstala téměř nepovšimnuta, protože Grassmann nebyl profesionální matematik a svoji teorii popisoval filozofickým způsobem, který byl pro ostatní matematiky těžko srozumitelný. Přitom to byl on, kdo jako první zavedl pojmy lineární kombinace, lineární nezávislosti, dimenze, lineární obal, báze a další. Navíc též dokázal tvrzení, která nyní známe pod názvy Steinitzova věta o výměně, věta o dimenzi součtu a průniku, nezávislost dimenze na volbě báze, vzorec pro transformaci souřadnic při přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru a jiné.

Axiomatickou definici vektorového prostoru pak jako první podává Giuseppe Peano ve svém díle Calcolo geometrico secundo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva z roku 1888. Vektorový prostor v dnešní podobě je poprvé definován v dizertační práci Stefana Banacha v roce 1920 a v moderních učebnicích se tento pojem poprvé objevuje v učebnici Modern Algebra od van der Waerdena z roku 1930. Více viz^[1] a článek Lineární algebra.

Jako motivaci pro zavedení pojmu vektorového prostoru uvažujme dva případy matematických objektů – fyzikální vektory (coby šipky) a polynomy. Pro každý z těchto případů podáme jeho základní charakteristiku a pokusíme se najít vlastnosti, které mají oba tyto případy společné. To nás už přímo povede k definování matematické struktury, splňující jisté vlastnosti, kterou půjde použít jak k popisu fyzikálních vektorů, tak k popisu polynomů. Touto matematickou strukturou bude právě vektorový prostor.

Jako první si představme fyzikální vektory, chápané jako šipky v rovině. Pro názornost mějme puk na ledové ploše a snažme se popsat jeho pohyb po ledě v závislosti na úderech hokejky dopadající na jeho strany s různou intenzitou a v různých směrech. Každý úder hokejky lze popsat velikostí síly, se kterou zasáhla puk, a směrem jejího působení. Úder můžeme tedy přirozeně vyjádřit jako šipku v rovině, jejíž délka odpovídá působící síle a její směr směru působící síly. Zajímá nás nyní, kam se puk posune, bude-li na něj v jeden okamžik působit více než jedna hokejka. V takovém případě se puk posune ve směru výslednice působících sil a jeho posunutí bude úměrné velikosti této výslednice. Výslednici sil přitom obdržíme složením všech "šipek", které v daný okamžik na puk působí. Pro konkrétnost uvažujme, že se nacházíme v situaci popsané obrázkem Obr. 1 vpravo, kde máme dvě působící síly. Abychom mohli s těmito šipkami lépe pracovat, zaveďme si na ledové ploše souřadnicovou soustavu a označme si šipky po řadě symboly ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$, jak je ukázáno na Obr. 2. Výslednice těchto dvou šipek pak vznikne jejich složením, označme si ji ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{3}}$, viz Obr. 3. Složením dvou šipek jsme tedy opět obdrželi nějakou šipku, která nyní popisuje výslednici působících sil popsaných šipkami ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ – výsledek naprosto zjevný, pro další diskuzi však klíčový. Pokud pohlédneme na souřadnice jednotlivých šipek v námi zavedené souřadnicové soustavě, dostáváme

${\displaystyle \color {blue}{{\vec {x}}_{1}={\begin{pmatrix}-1\\0,5\end{pmatrix}}}\color {black}{,}\quad \color {red}{{\vec {x}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}}\color {black}{,}}$

kde jsou jednotlivé barvy zvoleny tak, aby byl zjevný vztah čísel k obrázkům vpravo. Pod souřadnicemi šipky jsou myšleny souřadnice bodu, ve kterém šipka "končí". Není třeba vypisovat souřadnice bodu, ve kterém šipka "začíná", protože všechny šipky, včetně výslednic a násobků, začínají v tomtéž bodě – puku (který má v naší souřadné soustavě souřadnice ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {0}{0}}}$). Pokud se nyní podíváme na souřadnice výslednice sil ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{3}}$, vidíme, že horní složka má hodnotu 1 (x-ová souřadnice) a spodní (y-ová souřadnice) má hodnotu 1,5 (viz Obr. 3, jeden dílek na ose představuje hodnotu 0,5). Pro souřadnice vektorů tedy platí vztah

${\displaystyle \color {blue}{\begin{pmatrix}-1\\0,5\end{pmatrix}}\color {black}{+}\color {red}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\color {black}{={\begin{pmatrix}1\\1,5\end{pmatrix}}}.}$

Pokud výše uvedenou rovnost přepíšeme do kompaktnějšího tvaru, máme ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2}={\vec {x}}_{3}}$. Dá se ukázat, že tento vztah platí obecně pro jakoukoli volbu šipek ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ a jejich výslednici ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{3}}$. Vidíme tedy, že výslednici dvou působících sil ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ můžeme vyjádřit jako jejich součet ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2}}$.

Dále je zřejmé, že pokud na puk udeříme dvakrát vyšší silou, tak odpovídající šipka bude dvakrát delší, ale zachová si svůj směr. Obecně tedy, mějme nějakou šipku ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ odpovídající jisté síle. Pak ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$-krát vyšší síle bude odpovídat ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$-krát delší šipka, která bude mít stejný směr jako ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$.

Můžeme tedy šipky různě násobit číslem a vzájemně sčítat a opět dostaneme nějakou šipku. Zároveň je vidět, že je jedno jestli složím šipku ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ se šipkou ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$, nebo naopak. Neboli

${\displaystyle {\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2}={\vec {x}}_{2}+{\vec {x}}_{1}.}$

Této vlastnosti se říká komutativita. Mějme nyní tři šipky ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},{\vec {x}}_{3}}$. Podobně jako v předchozím případě je jedno, jestli nejdříve složím šipku ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ se šipkou ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ a jejich výslednici složím se šipkou ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{3}}$, nebo jestli nejdříve složím šipku ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ se šipkou ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{3}}$ a jejich výslednici se šipkou ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$. Neboli

${\displaystyle ({\vec {x}}_{1}+{\vec {x}}_{2})+{\vec {x}}_{3}={\vec {x}}_{1}+({\vec {x}}_{2}+{\vec {x}}_{3}).}$

Této vlastnosti se říká asociativita. Je také vidět, že pokud k jakémukoli vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ přičtu vektor

${\displaystyle {\vec {0}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},}$

tak dostanu opět vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$. Vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}}$ odpovídá "šipka" nulové délky a říká se mu nulový vektor. A konečně také vidíme, že když přesně proti sobě na puk působí dvě síly ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}}$ stejné velikosti, tak se jejich účinek vyruší, tj. puk stojí na místě. Neboli jejich výslednice, tj. součet, je nulový vektor. Tedy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}+{\vec {y}}={\vec {0}}}$, neboli ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=-{\vec {x}}}$. Máme-li nějaký vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$, tak k němu vždy, jak vidíme, existuje jistý vektor ${\displaystyle \scriptstyle -{\vec {x}}}$ takový, že jejich výslednice je nulový vektor. Vektoru ${\displaystyle \scriptstyle -{\vec {x}}}$ říkáme vektor opačný k vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$.

Shrňme si nyní, na co jsme zatím přišli:

1. Šipky lze sčítat a násobit číslem. Součet dvou šipek je opět šipka. Podobně násobek šipky je opět šipka.
2. Sčítání šipek je komutativní.
3. Sčítání šipek je asociativní.
4. "Šipku nulové délky", nulový vektor, můžu přičíst k libovolné jiné šipce, aniž bych tuto změnil.
5. Ke každé šipce najdu šipku k ní opačnou, opačný vektor.

Podobnou diskuzi vztahu šipek a "fyzikálních" vektorů lze nalézt v oddíle Geometrická interpretace v článku lineární kombinace.

Když jsme nyní vypsali základní vlastnosti množiny šipek spolu s jejich sčítáním a násobením číslem, přesuňme svoji pozornost na polynomy. Neboli na funkce ${\displaystyle \scriptstyle p}$ tvaru

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$.

Když sečteme dva polynomy ${\displaystyle \scriptstyle p}$ a ${\displaystyle \scriptstyle q}$, tak dostaneme funkci

${\displaystyle p(x)+q(x)=(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0})+(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0})=(a_{n}+b_{n})x^{n}+(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+\ldots +(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}),}$

což je ale opět polynom, jehož koeficienty jsou nyní rovny součtům koeficientů polynomu ${\displaystyle \scriptstyle p}$ a polynomu ${\displaystyle \scriptstyle q}$. Tyto koeficienty jsou zjevně stejné bez ohledu na pořadí sčítání ${\displaystyle \scriptstyle p}$ a ${\displaystyle \scriptstyle q}$, neboli

${\displaystyle p+q=q+p.}$

Platí tedy komutativita. Snadno by se ověřila i asociativita sčítání. Též je vidět, že funkce ${\displaystyle \scriptstyle \alpha p}$ vzniklá vynásobením polynomu ${\displaystyle \scriptstyle p}$ číslem ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ je opět polynom, který má nyní koeficienty rovné ${\displaystyle \scriptstyle \alpha a_{i}}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle a_{i}}$ jsou koeficienty polynomu ${\displaystyle \scriptstyle p}$. Dále je patrné, že nulová funkce, která každému bodu přiřazuje nulu, je polynom (jehož všechny koeficienty jsou nulové). Říkáme mu nulový polynom. Když k nulovému polynomu přičteme libovolný polynom, tak součet bude roven přičítanému polynomu. Konečně, mějme nějaký polynom ${\displaystyle \scriptstyle p}$. Když ho vynásobíme číslem -1, tak dostaneme polynom ${\displaystyle \scriptstyle -p}$, kterému říkáme opačný polynom. Platí, že

${\displaystyle (-p)+p=0.}$

Součet polynomu a k němu opačného polynomu tedy dává nulový polynom. Opět si shrňme dosavadní zjištění:

1. Součet dvou polynomů je opět polynom. Podobně násobek polynomu číslem je opět polynom.
2. Sčítání polynomů je komutativní.
3. Sčítání polynomů je asociativní.
4. Když k nulovému polynomu přičtu libovolný polynom, tak bude součet roven přičítanému polynomu.
5. Ke každému polynomu najdu polynom k němu opačný.

Seznam vlastností šipek i seznam vlastností polynomů výše byly záměrně napsány v co nejshodnější podobě. Jak vidíme, i přes zjevnou rozdílnost mají šipky i polynomy mnoho vlastností totožných. Jde například o komutativitu či asociativitu sčítání nebo o existenci nulového prvku. Podobnosti mezi vlastnostmi různých matematických objektů, jako v případě těch dvou výše zmíněných, vedly matematiky k zavedení matematické struktury, která je určena právě těmito vlastnosti. Jedná se o množinu, kdy není specifikován konkrétní tvar jejích prvků, ale zajímají nás především jejich vzájemné vztahy. Nezáleží tedy moc na tom, zda uvažujeme šipky či polynomy, ale velkou roli hraje např. to, že oboje lze sčítat a nezáleží na pořadí sčítání.

Mějme nyní tedy množinu, kterou si označme ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a jejíž prvky budeme značit v analogii se šipkami jako ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}},\ldots }$, aniž bychom nějak blíže věděli, co tyto prvky jsou. Nezajímá nás tedy, zda je ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ šipka či polynom. Po těchto prvcích však požadujeme, aby splňovaly následující vlastnosti:

1. Součet dvou prvků je opět prvek ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Podobně násobek prvku číslem leží opět ve ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Jinými slovy, množina ${\displaystyle \scriptstyle V}$ je uzavřená na operace sčítání a násobení číslem.
2. Sčítání prvků je komutativní.
3. Sčítání prvků je asociativní.
4. Když k nulovému prvku přičtu libovolný prvek, tak bude součet roven přičítanému prvku.
5. Ke každému prvku najdu prvek k němu opačný.

Dosud jsme uvažovali prvky z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ násobené číslem. Pojem čísla je ale pro matematiku příliš konkrétní a tak lze místo množiny čísel uvažovat obecnější množinu, tzv. těleso. Těleso samotné má pak také dodatečnou strukturu určenou požadavky, které se podobají těm, které klademe na prvky množiny ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Označme si těleso písmenem ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Konkrétně od něho požadujeme, aby pro libovolné dva prvky ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta }$ tělesa ${\displaystyle \scriptstyle T}$ platilo:

1. Součet ${\displaystyle \scriptstyle \alpha +\beta }$ je také prvek ${\displaystyle \scriptstyle T}$.
2. Násobek ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \cdot \beta }$ je také prvek ${\displaystyle \scriptstyle T}$.
3. Prvek opačný k ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$, tj. ${\displaystyle \scriptstyle -\alpha }$ je také prvek ${\displaystyle \scriptstyle T}$.
4. Pro každý nenulový prvek ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ je ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}}$ také prvek ${\displaystyle \scriptstyle T}$.

Těleso je tedy množina vybavená operací sčítání a operací násobení. První dva požadavky výše vyjadřují, že je těleso pro tyto dvě operace uzavřené. Můžeme v něm navíc najít jak neutrální prvek vůči operaci sčítání, který označujeme 0, tak i neutrální prvek vůči operaci násobení, který označujeme 1. Výraz ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}}$ ve čtvrtém bodě výše pak vyjadřuje inverzní prvek pro ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ vůči operaci násobení.

Dospěli jsme tak zatím k matematické struktuře sestávající z množiny ${\displaystyle \scriptstyle V}$, ke které je přidruženo těleso ${\displaystyle \scriptstyle T}$, přičemž součet prvků z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a jejich násobek prvkem z ${\displaystyle \scriptstyle T}$ leží opět ve ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a přitom jsou splněny jisté dodatečné podmínky. Když matematicky precizně přeformulujeme právě uvedené požadavky, dodáme pár požadavků dalších a celou věc trochu zobecníme, tak dospíváme k současné definici vektorového prostoru jak je podána v následujícím oddíle.

Nechť jsou dány

1. neprázdná množina ${\displaystyle \scriptstyle V}$, jejíž prvky nazýváme vektory,
2. těleso ${\displaystyle \scriptstyle T}$ (s operacemi sčítání "${\displaystyle \scriptstyle +}$" a násobení " ${\displaystyle \scriptstyle \cdot }$ "),
3. zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle \oplus :\ V\times V\to V}$, jež nazýváme sčítání vektorů,
4. zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle \odot :\ T\times V\to V}$, jež nazýváme násobení vektoru (prvkem z tělesa; skalárem).

Řekneme, že ${\displaystyle \scriptstyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$ s vektorovými operacemi ${\displaystyle \scriptstyle \oplus ,\odot }$, právě když je množina ${\displaystyle \scriptstyle V}$ uzavřená na operace ${\displaystyle \scriptstyle \oplus }$ a ${\displaystyle \scriptstyle \odot }$ a současně platí tzv. axiomy vektorového prostoru. Těchto axiomů je osm a jejich znění je následující:

Axiomy 1 až 4 vyjadřují, že množina ${\displaystyle \scriptstyle V}$ tvoří vzhledem ke sčítání vektorů komutativní grupu, kde nulový vektor představuje neutrální prvek grupy a opačný vektor představuje inverzní prvek k danému prvku grupy alias vektoru. Z definice operací ${\displaystyle \scriptstyle \oplus }$ a ${\displaystyle \scriptstyle \odot }$ implicitně vyplývá, že uvažujeme pouze ty operace sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa, pro něž je množina ${\displaystyle \scriptstyle V}$ uzavřená. Běžně se místo znaku ${\displaystyle \scriptstyle \oplus }$ pro sčítání používá znaménko + a místo znaku ${\displaystyle \scriptstyle \odot }$ pro násobení se užívá znaménka ${\displaystyle \scriptstyle \cdot }$. Zde byly tyto symboly použity, aby se odlišilo sčítání dvou vektorů a sčítání dvou prvků tělesa, resp. násobení vektoru prvkem tělesa a násobení dvou prvků tělesa. Z kontextu je ale vždy patrné, kterou operaci je nutno použít.

Zdaleka nejčastěji se uvažují číselná tělesa reálných či komplexních čísel. Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ se nazývá reálný vektorový prostor, vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ se pak jmenuje komplexní vektorový prostor. Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru. Dokonce z definice tělesa vyplývá, že i těleso samotné je spolu s operací sčítání a násobení prvkem z tělesa vektorovým prostorem samo nad sebou.

Pro značení vektorů se používají různé notace, nejčastěji se lze setkat buď s polotučným sázením symbolů pro vektory jako x, y, z, anebo se symboly vysázenými italikou majícími nad sebou šipku jako ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}}}$. Zde se budeme držet druhé jmenované konvence. Přísně vzato je z definice vektorový prostor uspořádaná čtveřice ${\displaystyle \scriptstyle (V,T,\oplus ,\odot )}$, obvykle se ale takový vektorový prostor značí prostě jako ${\displaystyle \scriptstyle V}$ a buď se předpokládá, že čtenář ví, které těleso a operace jsou použity, nebo jsou tyto specifikovány vždy při definici množiny ${\displaystyle \scriptstyle V}$. V případě běžně používaných vektorových prostorů jako např. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ jsou příslušné operace a dané těleso definovány v podstatě kanonicky a nemůže dojít k nejasnostem.

Stejně jako u každé jiné množiny, můžeme i v případě vektorového prostoru uvažovat jeho podmnožiny. Máme na mysli konkrétně podmnožiny množiny ${\displaystyle \scriptstyle V}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle (V,T,\oplus ,\odot )}$ je daný vektorový prostor. Výsadní postavení mezi všemi podmnožinami mají pak ty z nich, které jsou sami o sobě vektorovými prostory. Tyto podmnožiny nazýváme podprostory daného vektorového prostoru. Více viz článek Vektorový podprostor.

V následujícím uvažujeme vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

• Nulový vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}\in V}$ je právě jeden, tj.

${\displaystyle (\exists !{\vec {0}}\in V)(\forall {\vec {x}}\in V)({\vec {x}}+{\vec {0}}={\vec {x}})}$

Důkaz: Z axiómů máme zajištěnu existenci přinejmenším jednoho nulového vektoru. Předpokládejme, že jich je víc a uvažujme dva nějaké nulové vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}_{1},{\vec {0}}_{2}}$, kdy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}_{1}\neq {\vec {0}}_{2}}$. Pak platí ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}_{1}={\vec {0}}_{1}+{\vec {0}}_{2}={\vec {0}}_{2}+{\vec {0}}_{1}={\vec {0}}_{2}}$, kde jsme po řadě využili axiomů 3, 1 a opět 3. Vidíme tedy, že ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}_{1}={\vec {0}}_{2}}$, což je spor.

• Ke každému vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in V}$ existuje právě jeden vektor opačný. Tento se obvykle značí ${\displaystyle \scriptstyle -{\vec {x}}}$. V matematickém zápise

${\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(\exists !(-{\vec {x}})\in V)({\vec {x}}+(-{\vec {x}})={\vec {0}})}$

Důkaz: Opět máme z axiomů zajištěnu existenci alespoň jednoho opačného vektoru k danému vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$. Předpokládejme existenci alespoň dvou opačných navzájem různých vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1},{\vec {y}}_{2}}$. Pak platí ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1}={\vec {y}}_{1}+{\vec {0}}={\vec {y}}_{1}+({\vec {x}}+{\vec {y}}_{2})=({\vec {y}}_{1}+{\vec {x}})+{\vec {y}}_{2}={\vec {0}}+{\vec {y}}_{2}={\vec {y}}_{2}}$, kde jsme použili 3., 4., 2. ,1. a opět 4., 1. a 3. axiomu. Máme tedy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}_{1}={\vec {y}}_{2}}$, což je spor.

• Pro každé dva vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in V}$ má rovnice ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}={\vec {b}}+{\vec {x}}}$ právě jedno řešení ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=-{\vec {b}}+{\vec {a}}}$, tj.

${\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in V)(\forall {\vec {b}}\in V)(\forall {\vec {x}}\in V)({\vec {a}}={\vec {b}}+{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad {\vec {x}}=-{\vec {b}}+{\vec {a}})}$

Důkaz: Daný předpis pro ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ vypsaný výše zřejmě řeší danou rovnici, stačí dosadit a použít po řadě 2., 4., 1. a 3. axiom. Dokažme jednoznačnost řešení. Pro spor předpokládejme, že existují dvě řešení ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}\neq {\vec {x}}_{2}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}={\vec {b}}+{\vec {x}}_{1}={\vec {b}}+{\vec {x}}_{2}}$. K poslední rovnosti můžeme zleva přičíst opačný vektor k ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}$, tj. dostaneme ${\displaystyle \scriptstyle (-{\vec {b}})+({\vec {b}}+{\vec {x}}_{1})=(-{\vec {b}})+({\vec {b}}+{\vec {x}}_{2})}$, což je však podle 2., 1. a 4. axiomu ekvivalentní výrazu ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}={\vec {x}}_{2}}$. Dospěli jsme tedy ke sporu.

• Libovolný násobek nulového vektoru je nulový vektor. Podobně, nulový násobek libovolného vektoru je nulový vektor. Neboli (0 je neutrální prvek pro sčítání v ${\displaystyle \scriptstyle T}$)

${\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\alpha \cdot {\vec {0}}={\vec {0}})}$

${\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)(0\cdot {\vec {x}}={\vec {0}})}$

Důkaz: Uvažujme nejprve ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0}$ a dokazujme první vlastnost. Mějme libovolný vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ a výraz ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}+\alpha {\vec {0}}=\alpha ({\frac {1}{\alpha }}{\vec {x}}+{\vec {0}})=\alpha ({\frac {1}{\alpha }}{\vec {x}})=1{\vec {x}}={\vec {x}}}$. Vektor ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {0}}}$ se tedy сhová jako nulový vektor a z již dokázané jednoznačnosti nulového vektoru musí platit ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {0}}={\vec {0}}}$. Případ pro ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =0}$ je podpřípadem druhé vlastnosti, kterou nyní dokážeme. Mějme rovnici ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}=\alpha {\vec {x}}}$, kde je naší neznámou vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}}$. Vidíme, že rovnici vyhovuje volba ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}={\vec {0}}}$. Když ale dosadíme ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=0{\vec {x}}}$, tak máme ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+0{\vec {x}}=\alpha {\vec {x}}}$, tj. ${\displaystyle \scriptstyle (\alpha +0){\vec {x}}=\alpha {\vec {x}}}$. Přitom levá strana je rovna straně pravé. Rovnost je tedy splněna i pro ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=0{\vec {x}}}$ a z jednoznačnosti řešení dokázané výše musí nutně ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}=0{\vec {x}}}$.

• Vlastnost:

${\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall {\vec {x}}\in V)(\alpha \cdot {\vec {x}}={\vec {0}}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0\lor {\vec {x}}=0)}$

Důkaz: Implikace zprava doleva plyne z předchozího tvrzení. Implikaci zleva doprava dokažme sporem. Předpokládejme tedy, že ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}={\vec {0}}}$ a přitom ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0}$ a současně ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\neq {\vec {0}}}$. Obě strany rovnice můžu tedy vynásobit prvkem ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}}$ dostávajíc ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}={\frac {1}{\alpha }}{\vec {0}}}$. Pravá strana rovnosti je ale podle předchozího tvrzení rovna nule a tedy ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$, což je spor.

• Vlastnost:

${\displaystyle (\forall \alpha \in T)(\forall {\vec {x}}\in V)((-\alpha )\cdot {\vec {x}}=-(\alpha \cdot {\vec {x}})=\alpha \cdot (-{\vec {x}}))}$

Důkaz: Uvažujme rovnici ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+{\vec {y}}={\vec {0}}}$, jejíž řešení je zjevně ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=-(\alpha {\vec {x}})}$. Současně ale ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+(-\alpha ){\vec {x}}=(\alpha +(-\alpha )){\vec {x}}=0{\vec {x}}={\vec {0}}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle (-\alpha ){\vec {x}}}$ je tedy též řešením. Navíc ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}+\alpha (-{\vec {x}})=\alpha ({\vec {x}}+(-{\vec {x}}))=\alpha {\vec {0}}={\vec {0}}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle \alpha (-{\vec {x}})}$ je tedy též řešením. Z již výše dokázané jednoznačnosti řešení rovnice tedy plyne ${\displaystyle \scriptstyle -(\alpha {\vec {x}})=(-\alpha ){\vec {x}}=\alpha (-{\vec {x}})}$.

• Opačný vektor k danému vektoru lze získat tak, že ho vynásobíme prvkem z tělesa, který je opačný k jednotkovému prvku. Neboli

${\displaystyle (\forall {\vec {x}}\in V)((-{\vec {x}})=-1\cdot {\vec {x}})}$

Důkaz: Plyne z předchozího tvrzení položením ${\displaystyle \scriptstyle \alpha =1}$.

Základní pojmy nám pomohou lépe pochopit strukturu vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ nad číselným tělesem ${\displaystyle T}$.

Základní věc, kterou můžeme s vektory udělat, je sečíst je nebo vynásobit prvkem tělesa. Řekneme, že vektor ${\displaystyle {\vec {y}}}$ je lineární kombinací vektorů ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{m}}$, platí-li:

${\displaystyle {\vec {y}}=\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{m}{\vec {x}}_{m}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ jsou prvky tělesa ${\displaystyle T}$.

Řekneme, že vektory ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{m}}$ jsou lineárně nezávislé, pokud jejich libovolná netriviální lineární kombinace je nenulový vektor, tj.:

${\displaystyle \alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{m}{\vec {x}}_{m}\neq {\vec {0}}}$,

kde alespoň jeden prvek ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ tělesa ${\displaystyle T}$ je různý od nulového prvku.

Řekneme, že vektory ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{m}}$ generují vektorový prostor, pokud každý vektor ${\displaystyle {\vec {y}}}$ vektorového prostoru můžeme vyjádřit jako nějakou jejich lineární kombinaci, tj.:

${\displaystyle {\vec {y}}=\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{m}{\vec {x}}_{m}}$,

kde ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ jsou nějaké prvky tělesa ${\displaystyle T}$.

Mějme vektorový prostor tvořený ${\displaystyle n}$-složkovými vektory, generovaný vektory ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{m}}$, které jsou lineárně nezávislé, pak musí platit ${\displaystyle n=m}$ a takovou množinu generátorů vektorového prostoru nazveme bází vektorového prostoru.

Všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost, pak můžeme definovat dimenzi vektorového prostoru jako mohutnost libovolné báze vektorového prostoru.

Mějme vektor ${\displaystyle {\vec {y}}}$ vektorového prostoru dimenze ${\displaystyle n}$ generovaného bází ${\displaystyle B}$ tvořenou vektory ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$, tj.:

${\displaystyle {\vec {y}}=\alpha _{1}{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {x}}_{2}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {x}}_{n}}$,

pak koeficienty ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ nazveme souřadnicemi vektoru ${\displaystyle {\vec {y}}}$ vzhledem k bázi ${\displaystyle B}$.

pozn.: Složky vektoru jsou obecně rozdílné od souřadnic vektoru vzhledem k dané bázi, a to s výjimkou tzv. kanonické báze aritmetického vektorového prostoru (tvořené sloupci jednotkové matice), pak jsou složky vektoru shodné se souřadnicemi vektoru.

Definujeme-li operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru ( ${\displaystyle \cdot :V\times V\to T}$ ) jakožto symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru a normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory ${\displaystyle {\vec {x}}}$ a ${\displaystyle {\vec {y}}}$ plyne nerovnost:

${\displaystyle -1\leq {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{|{\vec {x}}||{\vec {y}}|}}\leq 1}$, tj. skalární součin těchto vektorů pak můžeme vyjádřit jako ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\ |{\vec {y}}|\ \cos \varphi }$, kde ${\displaystyle \varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle }$ je jimi sevřený úhel.

pozn.: Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.

V třídimenzionálním aritmetickém vektorovém prostoru definujeme binární operaci vektorového součinu ( ${\displaystyle \times :V\times V\to V}$ ) pro libovolné vektory ${\displaystyle {\vec {x}}}$ a ${\displaystyle {\vec {y}}}$ následovně:

${\displaystyle {\vec {x}}\times {\vec {y}}={\vec {n}}\ \ |{\vec {x}}|\ |{\vec {y}}|\ \sin \varphi }$, kde ${\displaystyle \varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle }$ je jimi sevřený úhel a ${\displaystyle {\vec {n}}}$ je normální vektor kolmý na oba násobené vektory.

pozn.: Velikost vektorového součinu je rovna velikosti plochy rovnoběžníku násobenými vektory sevřeného.

Mějme podmnožinu ${\displaystyle \rho }$ vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ (${\displaystyle \rho \subseteq V}$), pokud součet libovolných vektorů podmnožiny padne opět do této podmnožiny a násobek libovolného vektoru podmnožiny s libovolným prvkem tělesa ${\displaystyle T}$ padne také opět do této podmnožiny, pak podmnožina ${\displaystyle \rho }$ tvoří podprostor (např. dimenze ${\displaystyle m}$) prostoru ${\displaystyle V}$ (např. dimenze ${\displaystyle n}$ při ${\displaystyle m\leq n}$) a je sama o sobě také vektorovým prostorem. Vektorový prostor je sám sobě svým vektorovým podprostorem.

Lineární obal lineárně nezávislých ${\displaystyle n}$-složkových vektorů ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{m}}$ definujeme jako množinu všech jejich lineárních kombinací, která je sama o sobě také vektorovým prostorem dimenze ${\displaystyle m}$, tj. pro ${\displaystyle m\leq n}$ podprostorem nějakého nadřazeného vektorového prostoru dimenze ${\displaystyle n}$.

Mějme podprostory ${\displaystyle \rho }$ a ${\displaystyle \sigma }$ vektorového prostoru ${\displaystyle V}$, pak řekneme, že vektorový prostor ${\displaystyle V}$ je jejich direktním součtem (${\displaystyle V=\rho \oplus \sigma }$), jestliže lineární obal jejich sjednocení je totožný s prostorem ${\displaystyle V}$ a jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor. Pak pro každý vektor ${\displaystyle {\vec {z}}\in V}$ existuje právě jeden vektor ${\displaystyle {\vec {x}}\in \rho }$ a právě jeden vektor ${\displaystyle {\vec {y}}\in \sigma }$ tak, že platí ${\displaystyle {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}}$.

Mějme podprostor ${\displaystyle \rho }$ vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ a množinu ${\displaystyle \sigma }$ všech vektorů z ${\displaystyle V}$ kolmých na každý vektor z ${\displaystyle \rho }$, pak množina ${\displaystyle \sigma }$ tvoří podprostor vektorového prostoru ${\displaystyle V}$, který je direktním součtem obou podprostorů (${\displaystyle V=\rho \oplus \sigma }$). Pak pro vektor ${\displaystyle {\vec {z}}\in V}$ existuje právě jeden vektor ${\displaystyle {\vec {x}}\in \rho }$ a právě jeden vektor ${\displaystyle {\vec {y}}\in \sigma }$ tak, že platí ${\displaystyle {\vec {z}}={\vec {x}}+{\vec {y}}}$, kde vektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ označíme jako ortogonální projekci vektoru ${\displaystyle {\vec {z}}}$ do podprostoru ${\displaystyle \rho }$ a vektor ${\displaystyle {\vec {y}}}$ označíme jako kolmici spuštěnou z vektoru ${\displaystyle {\vec {z}}}$ do podprostoru ${\displaystyle \rho }$.

Vraťme se ještě na chvíli k oddílu Motivace výše na případ šipek v rovině a na polynomy. Abychom mohli šipky vhodně popisovat, zavedli jsme si v rovině souřadnicovou soustavu. Každé šipce jsme tedy schopni jednoznačně přiřadit dvojici čísel – její ${\displaystyle \scriptstyle x}$-ovou a ${\displaystyle \scriptstyle y}$-ovou souřadnici v dané souřadnicové soustavě. Vidíme tedy, že nám k plnému určení šipky v rovině stačí dvě čísla. Zkoumejme nyní případ polynomů. Označme si množinu všech polynomů jako ${\displaystyle \scriptstyle P}$. Víme, že obecný tvar polynomu vypadá následovně:

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$,

kde ${\displaystyle \scriptstyle n}$ je nějaké přirozené číslo vyjadřující stupeň polynomu. Pokud nenaložíme omezení na velikost tohoto čísla, tak může nabývat libovolně velké hodnoty. Máme-li tedy množinu všech polynomů ${\displaystyle \scriptstyle P}$, tak ať nás napadne jakkoli velké ${\displaystyle \scriptstyle n}$, tak určitě v této množině nalezneme polynom, jehož stupeň je právě ${\displaystyle \scriptstyle n}$. Každý polynom je popsán svými koeficienty, pokud může být ale ${\displaystyle \scriptstyle n}$ libovolně velké, může být libovolně velký i počet koeficientů polynomu, který "náhodně vytáhneme" z množiny ${\displaystyle \scriptstyle P}$. Protože dopředu nevíme, jaký polynom "vytáhneme", musíme uvažovat nejhorší možný případ, tj. když je koeficientů nekonečně mnoho. Pro popis libovolného polynomu z množiny ${\displaystyle \scriptstyle P}$ je tedy nutno nekonečně mnoho čísel. To je v protikladu k případu šipek v rovině, k jejichž plnému určení stačila čísla dvě. O prostoru šipek pak říkáme, že má dimenzi dva, o prostoru všech polynomů ${\displaystyle \scriptstyle P}$ pak, že jeho dimenze je nekonečná. Získali jsme tak nejvýraznější charakteristiku vektorových prostorů – buď mají konečnou dimenzi, anebo nekonečnou.

Kromě aritmetických operací definovaných nad samotnými vektory a prvky tělesa můžeme též uvažovat obdobné operace nad celými množinami vektorů potažmo prvků tělesa. Zavedení těchto operací umožňuje mimo jiné kompaktnější zápis některých vztahů mezi množinami vektorů a dává tak vyniknout jejich vzájemným souvislostem.

Mějme vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Dále uvažujme dvě neprázdné podmnožiny ${\displaystyle \scriptstyle A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle B}$ vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Pro tyto můžeme definovat jejich součet následujícím způsobem:

${\displaystyle A+B\equiv \{{\vec {x}}\in V|(\exists {\vec {a}}\in A)(\exists {\vec {b}}\in B)({\vec {x}}={\vec {a}}+{\vec {b}})\}=\{{\vec {a}}+{\vec {b}}|{\vec {a}}\in A,{\vec {b}}\in B\}.}$

Součet dvou podmnožin vektorového prostoru nazýváme direktní součet, právě když lze každý vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ z množiny ${\displaystyle \scriptstyle A+B}$ vyjádřit ve tvaru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}$ právě jedním způsobem, kde ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}\in A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}\in B}$. Direktní součet množin ${\displaystyle \scriptstyle A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle B}$ značíme ${\displaystyle \scriptstyle A\oplus B}$. Neboli

${\displaystyle A\oplus B\equiv \{{\vec {x}}\in V|(\exists !{\vec {a}}\in A)(\exists !{\vec {b}}\in B)({\vec {x}}={\vec {a}}+{\vec {b}})\}.}$

Uvažujeme-li ještě neprázdnou podmnožinu ${\displaystyle \scriptstyle S}$ tělesa ${\displaystyle \scriptstyle T}$, tak jako násobek množiny ${\displaystyle \scriptstyle S}$ a ${\displaystyle \scriptstyle A}$ označujeme množinu

${\displaystyle S\cdot A\equiv \{{\vec {x}}\in V|(\exists \alpha \in S)(\exists {\vec {a}}\in A)({\vec {x}}=\alpha {\vec {a}})\}=\{\alpha {\vec {a}}|\alpha \in S,{\vec {a}}\in A\}.}$

Běžně se pro zjednodušení zápisu používají následující konvence (${\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}\in V}$):

• ${\displaystyle \scriptstyle \{-1\}\cdot A\equiv -A,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \{{\vec {a}}\}+A\equiv {\vec {a}}+A,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle A+(-B)\equiv A-B,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \{\alpha \}\cdot A\equiv \alpha A.}$

Pro operace sčítání a násobení nad podmnožinami vektorového prostoru, resp. tělesa, lze snadno odvodit následující vlastnosti (${\displaystyle \scriptstyle S_{1},S_{2}\subset T}$):

• operace sčítání množin je komutativní a asociativní,
• ${\displaystyle \scriptstyle A+{\vec {0}}=A,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \{1\}\cdot A=A,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle S_{1}\cdot (S_{2}\cdot A)=(S_{1}\cdot S_{2})\cdot A,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle S\cdot (A+B)\subset S\cdot A+S\cdot B,}$
• ${\displaystyle \scriptstyle (S_{1}+S_{2})\cdot A\subset S_{1}\cdot A+S_{2}\cdot A,}$
• platí zřejmě ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {0}}\in A-A}$, ale obecně rozhodně neplatí, že by rozdíl ${\displaystyle \scriptstyle A-A}$ byla množina obsahující jen nulový vektor; pokud je ${\displaystyle \scriptstyle A}$ vektorový podprostor prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$, tak dokonce platí rovnost ${\displaystyle \scriptstyle A-A=A}$.

Tam, kde je výše místo rovnosti vyznačená jen inkluze, obecně rovnost neplatí. Ukažme si vzhledem k inkluzi ještě jedno další tvrzení, jehož důkaz je triviální:

• Buď ${\displaystyle \scriptstyle V}$ vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$ a ${\displaystyle \scriptstyle A_{1},B_{1}}$, ${\displaystyle \scriptstyle A,B}$ jeho neprázdné podmnožiny splňující vztah ${\displaystyle \scriptstyle A_{1}\subset A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle B_{1}\subset B}$. Buďte dále ${\displaystyle \scriptstyle S_{1},S}$ neprázdné podmnožiny tělesa ${\displaystyle \scriptstyle T}$ splňující ${\displaystyle \scriptstyle S_{1}\subset S}$. Pak platí

${\displaystyle S_{1}\cdot A_{1}\subset S\cdot A\quad \mathrm {a} \quad A_{1}+B_{1}\subset A+B.}$

V souvislosti s direktním součtem dvou vektorových podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle A,B}$ je velmi užitečné si uvézt následující tvrzení:

• Součet ${\displaystyle \scriptstyle A+B}$ je direktním součtem, tj. ${\displaystyle \scriptstyle A\oplus B}$, právě když v průniku podprostorů ${\displaystyle \scriptstyle A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle B}$ leží právě jen nulový vektor. To jest

${\displaystyle A+B=A\oplus B\quad \Leftrightarrow \quad A\cap B=\{{\vec {0}}\}.}$

Pro důkaz viz oddíl Rovnosti a inkluze v článku Vektorový podprostor.

Uveďme si nyní příklady nejčastěji používaných vektorových prostorů. V numerické matematice nejčastěji používanými vektorovými prostory jsou ty konečnědimenzionální, které jsou navíc definované nad číselnými tělesy. Velkou výhodou prostorů konečné dimenze je to, že v nich lze snadno zavést bázi. Každý vektor tak lze popsat pomocí jeho souřadnic v této bázi. Souřadnice přitom tvoří n-tice čísel. Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru se tak stačí omezit na studium prostoru n-tic čísel, jehož vlastnosti si přiblížíme v následujícím oddíle. Z tohoto pohledu jsou co do struktury mnohem bohatší prostory s nekonečnou dimenzí, jako např. prostor spojitých funkcí či prostor posloupností, jejichž příklady zde také uvádíme. Další příklady vektorových prostorů lze nalézt i v oddíle Vektorové prostory s dodatečnou strukturou níže.

Mějme těleso ${\displaystyle \scriptstyle T}$ a jisté přirozené číslo ${\displaystyle \scriptstyle n}$. Uvažujme dále kartézský součin ${\displaystyle \scriptstyle T\times \ldots \times T=T^{n}}$, tj. prostor uspořádaných n-tic prvků z tělesa ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Na tomto prostoru si definujme operaci sčítání a operaci násobení prvkem z tělesa následovně: Nechť ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ jsou dvě uspořádané ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tice, jejich součet ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}+{\vec {y}}}$ je pak definován jako

${\displaystyle {\vec {x}}+{\vec {y}}=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),}$

tedy jako jiná uspořádaná ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tice, jejíž složky jsou rovny součtům složek dvou předešlých uspořádaných ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tic. Nechť dále je ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ prvek tělesa, násobek ${\displaystyle \scriptstyle \alpha {\vec {x}}}$ pak definujeme jako

${\displaystyle \alpha {\vec {x}}=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).}$

Výsledkem je tedy opět uspořádaná ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tice.

Množina všech uspořádaných ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tic s tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$ a s výše definovanými operacemi sčítání a násobení je vektorový prostor (což lze snadno dokázat z definice vektorového prostoru výše). Nazýváme ho aritmetickým vektorovým prostorem dimenze ${\displaystyle \scriptstyle n}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$ (nebo ${\displaystyle \scriptstyle n}$-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$). Jeho prvky pak nazýváme aritmetické vektory. Protože je tento typ vektorů používán velmi často, tak se obvykle přívlastek aritmetický vynechává a hovoří se pouze o vektorech. Občas se lze setkat i s frází: vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle T^{n}}$ s přirozeně definovanými aritmetickými operacemi či vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle T^{n}}$ s přirozeně definovanými operacemi sčítání a násobení. V takovém případě se myslí právě výše zavedený prostor, kde se dva vektory sčítají a násobí číslem po složkách. Můžeme totiž definovat i jiné operace sčítání a násobení číslem, při kterých by prostor uspořádaných ${\displaystyle \scriptstyle n}$-tic též tvořil vektorový prostor. Pak bychom mu už ale neříkali aritmetický vektorový prostor.

Prakticky vždy se za těleso bere množina reálných či komplexních čísel, dostáváme tedy prostory ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ či ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}}$. Prvky těchto prostorů se obvykle značí jako sloupce

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle n}$ udává počet složek. Takto zapisovaným ${\displaystyle \scriptstyle n}$-ticím říkáme sloupcové vektory. Lze se ale setkat i s vektory psanými do řádku

${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

které nazýváme řádkové vektory. Pro práci se sloupcovými vektory viz Příklad 1 v článku Lineární kombinace, Příklad 1 v článku Lineární nezávislost či Příklad 1 a Příklad 2 v článku Lineární obal. Pokud pracujeme pouze se samotnými aritmetickými vektory, tak je jedno, zda používáme řádkový či sloupcový zápis. Rozdíl ale začne být patrný, budeme-li chtít těmito vektory násobit matici. Více viz články Sloupcový vektor a Řádkový vektor. Prostor uspořádaných n-tic má dimenzi rovnou n. Jednotlivé složky obecného n-složkového aritmetického vektoru jsou totiž navzájem nezávislé a k určení každého vektoru v daném vektorovém prostoru je tedy třeba právě n čísel.

Jak bylo ukázáno v Motivaci, prostor šipek v rovině odpovídá prostoru dvousložkových aritmetických vektorů. Přesněji řečeno, námi rozebíraný případ je případ aritmetického vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$ definovaného nad tělesem reálných čísel ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ a s přirozeně zavedenými aritmetickými operacemi. Prostor šipek ve trojrozměrném prostoru by odpovídal množině ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$. Analogicky pak prostor šipek v ${\displaystyle \scriptstyle k}$-rozměrném prostoru odpovídá množině ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{k}}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ s přirozeně definovanými operacemi sčítání a násobení.

V předchozím oddílu jsme zkoumali prostor uspořádaných n-tic čísel, tedy prvků množiny ${\displaystyle \scriptstyle T^{n}}$. Podívejme se nyní na lehce obecnější množinu ${\displaystyle \scriptstyle T^{n,m}\equiv T^{n\times m}}$, která vznikne jako kartézský součin n krát m množin, z nichž každá je rovna tělesu ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Jedná se tedy prakticky o množinu uspořádaných ${\displaystyle \scriptstyle k}$-tic, kde ${\displaystyle \scriptstyle k=n\cdot m}$. Oproti aritmetickým vektorům ale uděláme jednu věc navíc. Jednotlivé složky prvku z ${\displaystyle \scriptstyle T^{n,m}}$ totiž seřadíme do obdélníku o rozměrech n krát m, jak je uvedeno níže

${\displaystyle \mathbb {A} \in T^{n,m}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbb {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nm}\end{pmatrix}}.}$

Takovýmto objektům se říká matice. Je obvyklé označovat matice velkými tučnými či konturovými písmeny, jak je vyznačeno výše. Mohli jsme ale stejně tak místo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {A} }$ psát ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$, jedná se pouze o značení. Máme tedy množinu ${\displaystyle \scriptstyle T^{n,m}}$, těleso ${\displaystyle \scriptstyle T}$. Zbývá nám tedy definovat operaci sčítání a operaci násobení. Obě definujeme stejně jako v případě aritmetických vektorů, tzn.

${\displaystyle \mathbb {A} +\mathbb {B} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nm}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\ldots &b_{1m}\\b_{21}&b_{22}&\ldots &b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\ldots &b_{nm}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\ldots &a_{1m}+b_{1m}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\ldots &a_{2m}+b_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&\ldots &a_{nm}+b_{nm}\end{pmatrix}},\qquad \alpha \mathbb {A} ={\begin{pmatrix}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}&\ldots &\alpha a_{1m}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}&\ldots &\alpha a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha a_{n1}&\alpha a_{n2}&\ldots &\alpha a_{nm}\end{pmatrix}}.}$