Vektorový součin

Vektorový součin[1] je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory. Vektorové násobení není ani komutativní ani asociativní operace.

Značení

Vektorový součin vektorů a se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

  • – používáno ve frankofonních zemích
  • – používáno v Rusku

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor s kanonickou bází nad číselným tělesem , pak pro vektory platí, že vektor je vektorovým součinem vektorů vzhledem k uvedené bázi, právě když:

,

kde je úhel svíraný vektory a a kde je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor znázorněn ukazovákem a vektor prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin , pak složky vektoru lze určit jako:

.

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu :

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

,

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:

.

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

.

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Zobecnění v n-rozměrném prostoru

Podrobnější informace naleznete v článku Vnější součin.

Vlastnosti

Vektorový součin

pro všechny nenulové vektory a všechna platí:

resp. .
.
  • Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci:
.
.
  • Vektorový součin vektorů a je nulový vektor (), právě když jsou násobené vektory kolineární.
  • Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:
.
  • Tvoří-li vektory , , (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:
.
  • V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů a zapsat pomocí determinantu jako:
.

Příklad

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

  • Výpočet pomocí definice:

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

  • Výpočet pomocí determinantu matice:

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

Výpočet v×u je analogický.

Aplikace

Moment síly

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly je definován následovně:

,

kde je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti :

,

kde značí hybnost hmotného bodu, který má polohu vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:

.

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz je v kinematice přesná definice rychlosti tělesa. Podobně tak definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. . Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:

,

kde vektorový součin dvou identických vektorů je roven nule, pak dostaneme:

.

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:

,

kde je integrační konstanta. Jinými slovy , což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor má strukturu:

,

kde značí operátor nabla:

.

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

.

Reference

  1. BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Vektorovy soucin.svg
Vektorový součin.