Vektorový součin

Vektorový součin^[1] je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory. Vektorové násobení není ani komutativní ani asociativní operace.

Vektorový součin vektorů ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$ – používáno ve frankofonních zemích
• ${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$ – používáno v Rusku

Mějme aritmetický vektorový prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ s kanonickou bází nad číselným tělesem ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pak pro vektory ${\displaystyle \mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$ platí, že vektor ${\displaystyle \mathbf {c} }$ je vektorovým součinem vektorů ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi }$,

kde ${\displaystyle \varphi \in \left\langle 0,\pi \right\rangle }$ je úhel svíraný vektory ${\displaystyle \mathbf {a} }$ a ${\displaystyle \mathbf {b} }$ a kde ${\displaystyle \mathbf {n} }$ je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor ${\displaystyle \mathbf {a} }$ znázorněn ukazovákem a vektor ${\displaystyle \mathbf {b} }$ prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$, pak složky vektoru ${\displaystyle \mathbf {c} }$ lze určit jako:

${\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}$

${\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}$

${\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$.

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu ${\displaystyle 3}$:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\qquad \longleftrightarrow \qquad A=\left({\begin{array}{rrr}0&a_{3}&-a_{2}\\-a_{3}&0&a_{1}\\a_{2}&-a_{1}&0\end{array}}\right)}$

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

${\displaystyle \left({\begin{array}{rrr}0&c_{3}&-c_{2}\\-c_{3}&0&c_{1}\\c_{2}&-c_{1}&0\end{array}}\right)=C=BA-AB=\left({\begin{array}{ccc}0&a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}&-(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\\-(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})&0&a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}&-(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})&0\end{array}}\right)}$,

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

${\displaystyle c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}$.

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:

${\displaystyle d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$.

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

${\displaystyle d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}$

${\displaystyle d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}$

${\displaystyle d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$

${\displaystyle d_{11}=d_{22}=d_{33}=0}$.

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

pro všechny nenulové vektory ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{3}}$ a všechna ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ platí:

• Vektorový součin je homogenní funkce, tj.:

${\displaystyle a^{2}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\,\mathbf {u} )\times (a\,\mathbf {v} )\ \ \ \ \ }$ resp. ${\displaystyle \ \ \ \ \ a\,(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} )}$.

• Vektorový součin není asociativní, tj. platí pro něj Jacobiho rovnost:

${\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )}$.

• Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci:

${\displaystyle \mathbf {w} \times (\mathbf {u} +\mathbf {v} )=(\mathbf {w} \times \mathbf {u} )+(\mathbf {w} \times \mathbf {v} )}$.

• Vektorový součin je antikomutativní, tj.:

${\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=-(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )}$.

• Vektorový součin vektorů ${\displaystyle \mathbf {u} }$ a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ je nulový vektor (${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$), právě když jsou násobené vektory kolineární.
• Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:

${\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )'=\mathbf {u} '\times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {v} '}$.

• Tvoří-li vektory ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} }$

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }$.

• V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů ${\displaystyle \mathbf {u} }$ a ${\displaystyle \mathbf {v} }$ zapsat pomocí determinantu jako:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}$.

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

• Výpočet pomocí definice:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}~,~u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}~,~u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})}$

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(1,2,0)\times (0,1,2)=(2\cdot 2-0\cdot 1,~0\cdot 0-1\cdot 2,~1\cdot 1-2\cdot 0)=(4,-2,1)}$

${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {u} =(0,1,2)\times (1,2,0)=(1\cdot 0-2\cdot 2,~2\cdot 1-0\cdot 0,~0\cdot 2-1\cdot 1)=(-4,2,-1)}$

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

• Výpočet pomocí determinantu matice:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&2&0\\0&1&2\end{vmatrix}}}$

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {u} \times \mathbf {v} &=&\mathbf {i} u_{2}v_{3}+u_{1}v_{2}\mathbf {k} +v_{1}\mathbf {j} u_{3}-\mathbf {k} u_{2}v_{1}-u_{3}v_{2}\mathbf {i} -v_{3}\mathbf {j} u_{1}\\~&=&\mathbf {i} \cdot 2\cdot 2+1\cdot 1\cdot \mathbf {k} +0\cdot \mathbf {j} \cdot 0-\mathbf {k} \cdot 2\cdot 0-0\cdot 1\cdot \mathbf {i} -2\cdot \mathbf {j} \cdot 1\\~&=&4\mathbf {i} -2\mathbf {j} +1\mathbf {k} \end{array}}}$

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =4\cdot (1,0,0)-2\cdot (0,1,0)+1\cdot (0,0,1)=(4,-2,1)}$

Výpočet v×u je analogický.

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly ${\displaystyle \mathbf {M} }$ je definován následovně:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$,

kde ${\displaystyle \mathbf {r} }$ je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti ${\displaystyle \mathbf {L} }$:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$,

kde ${\displaystyle \mathbf {p} }$ značí hybnost hmotného bodu, který má polohu ${\displaystyle \mathbf {r} }$ vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$.

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$ je v kinematice přesná definice rychlosti ${\displaystyle \mathbf {v} }$ tělesa. Podobně tak ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$. Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:

${\displaystyle m(\mathbf {v} \times \mathbf {v} )+\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$,

kde vektorový součin dvou identických vektorů ${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {v} }$ je roven nule, pak dostaneme:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {M} }$.

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:

${\displaystyle \mathbf {L} =\int \mathbf {M} \,\mathrm {d} t=\int 0\,\mathrm {d} t=C}$,

kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta. Jinými slovy ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathrm {konst} }$, což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$ má strukturu:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)}$,

kde ${\displaystyle \nabla }$ značí operátor nabla:

${\displaystyle {\nabla }=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$.

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}}$.

• Vektorový prostor
• Skalární součin
• Smíšený součin

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vektorový součin na Wikimedia Commons