Velké kardinály

Velké kardinály či velká kardinální čísla je v teorii množin souhrnné označení pro kardinální čísla, jejichž existence je nezávislá na axiomech Zermelovy–Fraenkelovy teorie s axiomem výběru (ZFC). Existence či neexistence každého z těchto čísel má v ZF závažné důsledky týkající se zejména nekonečné kombinatoriky. Často však přijetí axiomu postulujícího existenci nějakého velkého kardinálu zásadně ovlivňuje vlastnosti o kardinálech malých (${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},}$ …).

Pojem „velký kardinál“ není exaktní pojem ve smyslu „kardinál se nazývá velký, právě když pro něj platí...“. Je to souhrnný pojem pro mnoho exaktních definic - měřitelný kardinál, nedosažitelný kardinál, slabě kompaktní kardinál atd. - které mají řadu společných rysů, mj.:

• Existence takových kardinálů není (nebo alespoň není známo, že by byla) ani dokazatelná, ani vyvratitelná ze ZFC, je-li ZFC konzistentní.
• U mnohých z nich má jejich (ne)existence velký vliv na chování běžně studovaných objektů : funkcí, topologických prostorů atd.
  • Například z existence některých velkých kardinálů plyne, že existuje model ZF, a tedy že neexistuje přirozené číslo reprezentující důkaz sporu v ZF. Věta o úplnosti totiž dokazuje, že sporná teorie nemůže mít model. Existence takového kardinálu tedy významně ovlivňuje vlastnosti tak „malé a přehledné“ množiny, jako jsou přirozená čísla.

Počátky studia velkých kardinálů sahají do poloviny 20. století, kdy začaly být zkoumány Alfredem Tarskim a později jeho žáky.

Je jistě zajímavé, že velké kardinály jsou téměř lineárně uspořádány relací inkluze (a ještě „lineárněji“ relací relativní bezespornosti existence), a to přesto, že pocházejí často z velmi vzdálených částí matematiky.

V následujícím výčtu jsou velké kardinály seřazeny podle velikosti od nejmenšího (v některých případech není přesné zařazení dle velikosti známo, pak je příslušný kardinál uveden někde v oblasti nejužšího známého omezení):

• slabě nedosažitelný kardinál
• nedosažitelný kardinál
• α-nedosažitelný kardinál
• hypernedosažitelný kardinál
• slabě Mahlův kardinál
• Mahlův kardinál
• α-Mahlův kardinál
• hyperMahlův kardinál
• slabě kompaktní kardinál
• ${\displaystyle \Pi _{n}^{m}}$-nepopsatelný kardinál
• totálně nepopsatelný kardinál
• λ-nesložitelný kardinál
• nesložitelný kardinál
• subtilní kardinál
• téměř nevýslovný kardinál
• nevýslovný kardinál
• n-nevýslovný kardinál
• totálně nevýslovný kardinál
• pozoruhodný kardinál
• Erdösův kardinál κ(α)
• skoroRamseyův kardinál
• Jónssonův kardinál
• Rowbottomův kardinál
• Ramseyův kardinál
• nevýslovněRamseyův kardinál
• měřitelný kardinál
• λ-silný kardinál
• silný kardinál
• Woodinův kardinál
• slabě hyperWoodinův kardinál
• Shelahův kardinál
• hyperWoodinův kardinál
• supersilný kardinál
• subkompaktní kardinál
• silně kompaktní kardinál (přesná síla neznámá: > Woodinův kardinál, ≤ superkompaktní)
• superkompaktní kardinál
• rozšiřitelný kardinál
• η-rozšiřitelný kardinál
• Vopěnkův kardinál
• skoroobří kardinál
• superskoroobří kardinál
• obří kardinál
• superobří kardinál

• Kunenova bariéra (strop pro velké kardinály nezávislé na ZFC)

• Reinhardtův kardinál (jeho existence je ve sporu s axiomem výběru, pouze v ZF však vyvratitelná není)