Viètovy vzorce

Viètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomů.

Obecný zápis

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,}$ s koeficienty ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}$ náležejícími ${\displaystyle \mathbb {R} }$ či ${\displaystyle \mathbb {C} }$, kde a_n≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x₁, x₂, ..., x_n. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně).

${\displaystyle \sigma _{k}{(x_{1},...,x_{n})}=(-1)^{k}{\tfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}.}$

Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.

Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.

Příklad

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom: ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$, s kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, kde ${\displaystyle p(x)=0}$. Potom můžeme psát:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.

Mějme polynom: ${\displaystyle q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$, s kořeny ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$, kde ${\displaystyle q(x)=0}$. Potom:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.