Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí. Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění , ať už v akustice , optice , elektromagnetismu či mechanice .
Vlnová rovnice obecně Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:
1 c 2 ∂ 2 z ∂ t 2 = ∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + . . . + ∂ 2 z ∂ x n 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}}} nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru :
1 c 2 ∂ 2 z ∂ t 2 = Δ z {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z} kde z {\displaystyle z} polohy a času .
V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:
1 c 2 ∂ 2 z ∂ t 2 = Δ z + f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} Vlnová rovnice v elektromagnetismu Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase t {\displaystyle t} homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce l {\displaystyle l}
Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem. ∂ 2 ∂ x 2 i ( t , x ) − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 i ( t , x ) − B ∂ ∂ t i ( t , x ) − A i ( t , x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}i\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}i\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}i\left(t,x\right)-A\ i\left(t,x\right)=0} ∂ 2 ∂ x 2 u ( t , x ) − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 u ( t , x ) − B ∂ ∂ t u ( t , x ) − A u ( t , x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}u\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}u\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}u\left(t,x\right)-A\ u\left(t,x\right)=0} c 2 = 1 LC {\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\text{LC}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} B = ( R C + L G ) {\displaystyle B=\left(RC+LG\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} A = R G {\displaystyle A=RG} řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:
i ( 0 , x ) ≡ ψ i ( x ) {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,i\left(0,x\right)\equiv \psi _{i}\left(x\right)\,\,\,\,} i ( t , 0 ) ≡ μ i ( t ) {\displaystyle i\left(t,0\right)\equiv \mu _{i}\left(t\right)} ∂ ∂ t i ( 0 , x ) ≡ ψ i ˙ ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}i\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{i}}}\left(x\right)\,\,\,\,\,} i ( t , l ) ≡ ν i ( t ) {\displaystyle i\left(t,l\right)\equiv \nu _{i}\left(t\right)} u ( 0 , x ) ≡ ψ u ( x ) {\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,u\left(0,x\right)\equiv \psi _{u}\left(x\right)\,\,\,} u ( t , 0 ) ≡ μ u ( t ) {\displaystyle u\left(t,0\right)\equiv \mu _{u}\left(t\right)} ∂ ∂ t u ( 0 , x ) ≡ ψ u ˙ ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{u}}}\left(x\right)\,\,\,} u ( t , l ) ≡ ν u ( t ) {\displaystyle u\left(t,l\right)\equiv \nu _{u}\left(t\right)} mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky μ {\displaystyle \mu } ν {\displaystyle \nu }
I ( x ) = I ( 0 ) cosh p x − Y 0 U ( 0 ) sinh p x = ψ i ( x ) {\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{i}\left(x\right)} U ( x ) = U ( 0 ) cosh p x − Z 0 I ( 0 ) sinh p x = ψ u ( x ) {\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{u}\left(x\right)} resp.
I ( x ) = I ( l ) cosh p ( x − l ) − Y 0 U ( l ) sinh p ( x − l ) = ψ i ( x ) {\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{i}\left(x\right)} U ( x ) = U ( l ) cosh p ( x − l ) − Z 0 I ( l ) sinh p ( x − l ) = ψ u ( x ) {\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{u}\left(x\right)} kde:
p 2 = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) = Z Y {\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)=\mathbf {Z} \ \mathbf {Y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} Z 0 ≡ Z Y {\displaystyle \mathbf {Z} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} Y 0 ≡ Y Z {\displaystyle \mathbf {Y} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}} a R , L , G , C {\displaystyle R,L,G,C} rezistance , indukčnost , konduktance , kapacita ) a ω {\displaystyle \omega } úhlová frekvence sítě.
Související články Externí odkazy 
Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnová rovnice na Wikimedia Commons 
