Vnitřní automorfismus

Vnitřní automorfismus je v abstraktní algebře automorfismus grupy, okruhu nebo algebry daný konjugací pevným prvek, zvaným konjugující prvek. Tyto vnitřní automorfismy tvoří podgrupu grupy automorfismů. Dále podíl grupy automorfismů s touto podgrupou dává vzniknout konceptu grupy vnějších automorfismů.

Definice

Je-li G grupa (nebo okruh) a g je prvek G (jestliže je G okruh, pak g musí být jednotka), pak se funkce

nazývá (pravá) konjugace podle g (viz konjugační třída). Tato funkce je homomorfismus G: pro všechny platí:

kde druhá rovnost je dána vložením identity mezi a Dále má toto zobrazení levou i pravou inverzi, totiž Tím pádem je bijekcí, a tedy i izomorfismem z G na sebe sama, tj. automorfismem. Vnitřní automorfismus je jakýkoliv automorfismus, který vzniká z konjugace. [1]

V případě pravé konjugace se výraz často značí pomocí mocniny: Tento zápis se používá, protože složení konjugací je asociativní: pro všechna To ukazuje, že konjugace určuje pravé působení G na sebe samotné.

Vnitřní a vnější grupy automorfismů

Složení dvou vnitřních automorfismů je opět vnitřním automorfismem a pod touto operací tvoří soubor všech vnitřních automorfismů grupy G grupu vnitřních automorfismů G, značenou Inn(G).

Inn(G) je normální podgrupa celé grupy automorfismů Aut(G). Grupa vnějších automorfismů, Out(G), je podílová grupa

Out(G) ≡ Aut(G)/Inn(G).

Grupa vnějších automorfismů v určitém smyslu měří, kolik automorfismů G není vnitřních. Každý nevnitřní automorfismus dává vzniknout netriviálnímu prvku Out(G), ale různé nevnitřní automorfismy mohou dát stejný prvek Out(G).

Tvrzení, že konjugace x podle a ponechá x nezměněno, je ekvivalentní k tvrzení, že a a x komutují:

a−1xa = x ⇔ ax = xa.

Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou identitou, je tedy v určitém smyslu měrou selhání komutativního zákona v dané grupě (nebo okruhu).

Automorfismus grupy G je vnitřní, právě když jej lze rozšířit na každou grupu obsahující G. [2]

Propojením prvku a ∈ G s vnitřním automorfismem f(x) = xa v Inn(G), jak je uvedeno výše, se získá izomorfismus mezi podílovou grupou G/Z(G) (kde Z(G) je centrum G) a grupou vnitřních automorfismů:

G/Z(G) = Inn(G).

To je důsledek první věty o izomorfismu, neboť Z(G) je souborem právě těch prvků G, které jako odpovídající vnitřní automorfismus udávají identické zobrazení (konjugace nemá vliv).

Nevnitřní automorfismy konečných p-grup

Výsledek jedné práce Wolfganga Gaschütze říká, že pokud je G konečná neabelovská p-grupa, pak má G automorfismus řádu p, který není vnitřní.

Zda má každá neabelovská p-grupa G automorfismus řádu p, je otevřený problém. Tato otázka má kladnou odpověď, pokud má G jednu z následujících vlastností:

  1. G je nilpotentní grupa třídy 2
  2. G je regulární p-grupa
  3. G/Z(G) je mocná p-grupa
  4. centralizátor CG centra Z Frattiniho podgrupy Φ v G, tj. CG∘Z∘Φ(G), není roven Φ(G)

Typy grup

Grupa vnitřních automorfismů grupy G, Inn(G), je triviální (tj. sestává pouze z neutrálního prvku), právě když je G abelovská.

Grupa Inn(G) je cyklická, jen pokud je triviální.

Na opačném konci spektra mohou vnitřní automorfismy pokrýt celou grupu automorfismů; grupa, jejíž automorfismy jsou všechny vnitřní a jejíž centrum je triviální, se nazývá úplná. To je případ všech symetrických grup o n prvcích, když n není 2 nebo 6; když n = 6, má symetrická grupa jedinečnou netriviální třídu vnějších automorfismů, a když n = 2, je symetrická grupa, přestože nemá žádný netriviální vnější automorfismus, abelovská, díky čemuž má netriviální centrum, a to ji odpírá úplnost.

Je-li grupa vnitřních automorfismů perfektní grupy G jednoduchá, pak se G nazývá skorojednoduchá.

Lieovy algebry

Automorfismus Lieovy algebry 𝔊 je nazýván vnitřním automorfismem, jestliže je tvaru Adg, kde Ad je adjungované zobrazení a g je prvek Lieovy grupy, jejíž Lieova algebra je 𝔊. Pojem vnitřního automorfismu je pro Lieovy algebry kompatibilní s tím grupovým v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy grupy udává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.

Rozšíření

Jestliže je G grupa jednotek okruhu A, pak může být vnitřní automorfismus nad G rozšířen na zobrazení nad projektivní přímkou nad A grupou jednotek maticového okruhu M2(A). Tímto způsobem lze rozšířit zejména vnitřní automorfismy klasických grup.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Inner automorphism na anglické Wikipedii.

  1. ↑ S., Dummit, David. Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950-. Hoboken, NJ: Wiley, 2004. (3.). ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 S. 45. 
  2. ↑ SCHUPP, Paul E. A characterization of inner automorphisms. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, 1987, roč. 101, čís. 2, s. 226–228. Dostupné online. DOI 10.2307/2045986. 

Literatura

  • ABDOLLAHI, A. Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology. J. Algebra. 2010, roč. 323, s. 779–789. DOI 10.1016/j.jalgebra.2009.10.013. arXiv 0901.3182. 
  • ABDOLLAHI, A. Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p. J. Algebra. 2007, roč. 312, s. 876–879. DOI 10.1016/j.jalgebra.2006.08.036. arXiv math/0608581. 
  • DEACONESCU, M.; SILBERBERG, G. Noninner automorphisms of order p of finite p-groups. J. Algebra. 2002, roč. 250, s. 283–287. DOI 10.1006/jabr.2001.9093. 
  • GASCHÜTZ, W. Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen. J. Algebra. 1966, roč. 4, s. 1–2. DOI 10.1016/0021-8693(66)90045-7. 
  • LIEBECK, H. Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2. J. London Math. Soc.. 1965, roč. 40, s. 268–275. DOI 10.1112/jlms/s1-40.1.268. 
  • REMESLENNIKOV, V.N. Encyclopedia of Mathematics [online]. Příprava vydání Hazewinkel, Michiel. Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. Kapitola I/i051230. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • WEISSTEIN, Eric W. Inner Automorphism [online]. MathWorld – A Wolfram Web Resource [cit. 2019-06-23]. Dostupné online. (anglicky)