Weierstrassova funkce

Weierstrassova funkce s konstantami ${\displaystyle a=0,5}$; ${\displaystyle b=3}$

Ukázka soběpodobnosti

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi, je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci (není nikde hladká).

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.^[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

• Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…), en:Weierstrass function a http://planetmath.org/… Archivováno 12. 3. 2007 na Wayback Machine:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$

kde ${\displaystyle 0<a<1}$, ${\displaystyle b}$ je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi }$

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou ${\displaystyle ab\geq 1}$.

• Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

Riemannova funkce, ${\displaystyle a=2}$

${\displaystyle f_{a}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(\pi k^{a}x)}{\pi k^{a}}}\,}$

přičemž údajně podle původní publikace ${\displaystyle a=2}$. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů^[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

• Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.^[1][3]

Související články

• Rozumná funkce
• Riemannova funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Weierstrassova funkce na Wikimedia Commons

Reference