Základní věta aritmetiky

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to jednoznačně až na jejich pořadí.

Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo existuje právě jedna skupina celých kladných čísel a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: tak, že

Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

  • pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí – prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem:
  • pokud platí pro všechna , pak je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel – spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad
  • zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem – dokazuje se sporem (pokud pro existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související články

Externí odkazy