Základní věta aritmetiky

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to jednoznačně až na jejich pořadí.

Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo ${\displaystyle c\,\!}$ existuje právě jedna skupina celých kladných čísel ${\displaystyle n,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\,\!}$ a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{n}\,\!}$ tak, že
${\displaystyle p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}}\cdot p_{3}^{m_{3}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{m_{n}}=c}$

Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

• pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí – prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: ${\displaystyle p=p^{1}\,\!}$
• pokud platí pro všechna ${\displaystyle i\leq x\,\!}$, pak ${\displaystyle x+1\,\!}$ je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel – spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad
• zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem – dokazuje se sporem (pokud pro ${\displaystyle x+1\,\!}$ existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související články

• Prvočíslo
• Prvočíselný rozklad
• Největší společný dělitel
• Nejmenší společný násobek

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Základní věta aritmetiky na Wikimedia Commons