Z-transformace

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti ${\displaystyle x(k)}$ je definována

${\displaystyle X(z)=\sum _{k=0}^{\infty }x(k)z^{-k}}$,

kde ${\displaystyle z}$ je komplexní proměnná. Množina hodnot ${\displaystyle z}$, pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě ${\displaystyle z_{0}}$, pak konverguje v každém bodě ${\displaystyle z}$, pro který platí ${\displaystyle \left|z\right|>\left|z_{0}\right|}$. Oblast konvergence Z-transformace je tedy ${\displaystyle \left|z\right|>R}$, kde ${\displaystyle R}$ je dáno chováním posloupnosti ${\displaystyle x(k)}$ pro ${\displaystyle k\to \infty }$ .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:

${\displaystyle x(k)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}X(z)z^{k-1}\,\mathrm {d} z}$

kde ${\displaystyle C}$ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující všechny póly.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Ve spojitém světě se za příbuzného Z-transformace považuje Laplaceova transformace.

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}}$.

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.

• Fourierova transformace
• Laplaceova transformace

• Učební text Liberecké univerzity
• Učební text VŠB
• Fisherova Z-transformace na Anglické Wikipedii