Zkrácené binární kódování
Zkrácené binární kódování je kódování typicky používané pro rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti s konečnou abecedou. Parametrem rozdělení je velikost abecedy n. Jde o obecnější variantu binárního kódování, kde n nemusí být mocninou o základu 2.
Nechť n = 2k+b, pro 0 ≤ b ≤ 2k. Pokud n je mocnina 2, můžeme si vybrat jednu ze dvou možných hodnot pro k; obě vytvoří stejný kód, který je identický se standardním binárním kódem.
Zkrácené binární kódování přiřadí prvním 2k−b symbolům kódová slova o délce k a pak zbývajícím 2b symbolům přiřadí posledních 2b kódových slov délky k+1. Protože všechna kódová slova délky k+1 sestávají z nepoužitého kódového slova délky k, ke kterým byla připojena „0“ nebo „1“ je výsledný kód prefixový.
Příklad s n = 5
Pro abecedu {0, 1, 2, 3, 4}, n = 5 = 22+1 zkrácené binární kódování přiřadí prvním třem symbolům (22-1) kódová slova 00, 01 a 10. Poté přiřadí posledním dvěma symbolům 110 a 111, jsou délky tři, každé z nich obsahuje poslední nepoužité kódové slovo délky dva 11, ke kterému se přidá znak navíc.
Například pro n rovno 5 standardní binární kódování a zkrácené přiřadí tato kódová slova.
| Kódové slovo10 | Zkrácené binární k. | Kódové slovo | Standardní binární k. | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
| 3 | Nepoužito | 0 | 1 | 1 | 3 |
| 4 | Nepoužito | 1 | 0 | 0 | 4 |
| 5 | Nepoužito | 1 | 0 | 1 | Nepoužito |
| 6 | 3 | 1 | 1 | 0 | Nepoužito |
| 7 | 4 | 1 | 1 | 1 | Nepoužito |
Nejbližší větší mocnina dvou větší než n = 5 je 23 = 8 a tedy u = 2k-n = 8−5 = 3. Budeme tedy mít 3 nepoužitá kódová slova pro standardní binární kódování.
Když chceme poslat hodnotu 0 ≤ x < n, která je jedním z 2k ≤ n ≤ 2k+1 symbolů, tak v kódování existuje takových u = 2k+1−n nepoužitých kódových slov.
Proces zakódování čísla x pro zkrácené binární kódování je takovýto:
- pokud je x menší než u zakódujte ho pomocí k bitů
- pokud je x větší nebo rovno u zakódujte hodnotu x+u pomocí k+1 bitu
Příklad s n = 10
Jiný příklad, zakódovat abecedu o velikosti n=10 (čísla mezi 0 a 9) vyžaduje k=4 bitů, ale v takto velké abecedě je 24-10 = 6 nepoužitých kódových slov. Tedy pro všechny vstupní znaky menší než 6 zahodíme první bit, zatímco všechny vstupy větší nebo rovny 6 posuneme o 6 ke konci kódování. (Nepoužitá zakódování nejsou v tabulce.)
| Vstupní hodnota | Posun | Hodnota posunu | Standardní binární k. | Zkrácené binární k. |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 000 | |
| 1 | 0 | 1 | 001 | |
| 2 | 0 | 2 | 010 | |
| 3 | 0 | 3 | 011 | |
| 4 | 0 | 4 | 100 | |
| 5 | 0 | 5 | 101 | |
| 6 | 6 | 12 | 0110 | 1100 |
| 7 | 6 | 13 | 0111 | 1101 |
| 8 | 6 | 14 | 1000 | 1110 |
| 9 | 6 | 15 | 1001 | 1111 |
Pro dekódování načteme prvních k-1 bitů, pokud rozkódováváme hodnotu menší než u, je dekódování hotovo. Pokud ne, načteme další bit (tedy k bitů) a odečteme u od výsledku.
Příklad s n = 7
Nakonec jeden z krajních případů: s n = 7 další mocnina 2 je 8 (skončíme u použití 3 bitů nebo 2 bitů pokud zahodíme nejvyšší bit) a u = 1:
| Vstupní hodnota | Posun | Hodnota posunu | Standardní binární k. | Zkrácené binární k. |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 00 | |
| 1 | 1 | 2 | 010 | 010 |
| 2 | 1 | 3 | 011 | 011 |
| 3 | 1 | 4 | 100 | 100 |
| 4 | 1 | 5 | 101 | 101 |
| 5 | 1 | 6 | 110 | 110 |
| 6 | 1 | 7 | 111 | 111 |
Poslední příklad ukazuje, že první nulový bit nemusí znamenat, že výsledný kód je kratší; pokud u < 2k−1 některé delší kódy budou začínat nulovým bitem.
Pokud je n mocnina dvou, pak kódování můžeme provést pro dvě rozdílné hodnoty k. Oba vytvoří stejný výstup; výstupem prvního bude pro u = 2k kód dlouhý k bitů pro všechny vstupy, zatímco výstupem druhého bude pro u = 0 kód o délce k+1 bit.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Truncared binary encoding na anglické Wikipedii.