Zlatý úhel

Zlatý úhel

Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly (přesněji řečeno na kruhové výseče) α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{360^{\circ }}}}$

${\displaystyle \alpha +\beta =360^{\circ }}$

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

${\displaystyle \beta =\varphi \alpha }$ respektive ${\displaystyle \beta =\varphi \psi }$

${\displaystyle 360^{\circ }=\varphi \beta }$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

${\displaystyle 360^{\circ }=\varphi ^{2}\alpha }$ respektive ${\displaystyle 360^{\circ }=\varphi ^{2}\psi }$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

${\displaystyle \psi ={\frac {360^{\circ }}{\varphi ^{2}}}\approx 137,51^{\circ }}$

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{2\pi }}}$

${\displaystyle \alpha +\beta =2\pi }$

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

${\displaystyle \beta =2\pi -\alpha }$

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2\pi -\alpha }}={\frac {2\pi -\alpha }{2\pi }}}$

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

${\displaystyle 2\pi \alpha =\left(2\pi -\alpha \right)^{2}}$

Umocníme závorku a převedeme na jednu stranu.

${\displaystyle 2\pi \alpha =4\pi ^{2}-4\pi \alpha +\alpha ^{2}}$

${\displaystyle \alpha ^{2}-6\pi \alpha +4\pi ^{2}=0}$

Z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

${\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {6\pi \pm {\sqrt {36\pi ^{2}-16\pi ^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}=\pi \left(3+{\sqrt {5}}\right)\doteq 5,24\pi \doteq 16,45\,rad}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\pi \left(3-{\sqrt {5}}\right)\doteq 0,76\pi \doteq 2,40\,rad}$

Je zřejmé, že první kořen α₁ je větší než 2π. Tím pro nás ztrácí praktický význam a zanedbáme jej. Získáváme tak hledanou velikost zlatého úhlu ψ.

${\displaystyle \psi \doteq 2,4000\,rad\doteq 137,51^{\circ }}$

Biologie

Zlatý úhel je důležitou veličinou v biologii. Listy, které postupně rostou jeden za druhým, se nacházejí na hustě svinuté tzv. genetické spirále. Při pohledu zvrchu lze sledovat úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Všechny listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu. Tento úhel se blíží zlatému úhlu.

Podobně vyrůstají například i jednotlivé okvětní lístky květu růže nebo jednotlivá semena na květu slunečnice.

Související články

• Zlatý řez
• Zlatý prostorový úhel

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu zlatý úhel na Wikimedia Commons