Zlatý řez

Jako zlatý řez (latinsky sectio aurea) se označuje poměr o hodnotě přibližně 1,618 : 1 (resp. 1 : 0,618). V umění a fotografii je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami. Zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. Hodnota tohoto poměru je iracionální číslo

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=1,618...}$

Již nejméně od renesance využívají zlatý řez umělci ve svých dílech, zejména ve formě tzv. zlatého obdélníku, ve kterém se zlatý řez vyskytuje jako poměr stran. Zlatý řez prý totiž působí esteticky příznivým dojmem; poměr zlatého řezu lze také pozorovat v přírodě.^[1]

Značení písmenem φ začal na počátku 20. století používat Mark Barr, přičemž je zvolil na počest řeckého sochaře Feidia (cca 490–430 př. n. l.), který podle historiků ve svých dílech zlatý řez hojně využíval. Občas se používá také označení τ z řeckého tome = řez.

Zlatý řez má mnoho zajímavých vlastností. Například se vyskytuje v pravidelném pětiúhelníku nebo je to limita poměru mezi dvěma následujícími členy Fibonacciho posloupnosti. Pentagram (penta – pět, grame – čára) je pěticípá hvězda nakreslená jedním tahem, která má sice chybu na kráse, neboť ji křižují čáry a oddělují ramena od středu, ale vzdálenosti mezi vrcholy jsou v poměru zlatého řezu. Pentagram měli Řekové ve velké úctě, neboť názorně představoval to, co neuměli vyjádřit číselným poměrem. Zákonitost, která se v pentagramu ukrývala, z něj učinila tajemný symbol dokonalosti vesmíru.^[2]

Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu.

${\displaystyle \varphi =\varphi ^{2}-1}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\varphi -1}}}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {\varphi +1}}}$

Pokud části úsečky označíme jako ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$, musí platit

${\displaystyle {\frac {b}{a}}={\frac {a}{a+b}}}$, přičemž ${\displaystyle \varphi ={\frac {a}{b}}}$.

To znamená, že ${\displaystyle a=b\varphi }$, což po dosazení do první rovnice dává

${\displaystyle {\frac {b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b\varphi +b}}}$.

Úpravou této rovnice se získá kvadratická rovnice

${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}$,

jejímž kladným kořenem (záporný zde nemá smysl) je

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$.

Převrácená hodnota zlatého řezu je rovna také výrazu ${\displaystyle \varphi -1}$, jinými slovy, u čísla ${\displaystyle \varphi }$ i ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}}$ je shodná část za desetinnou čárkou. Tato unikátní vlastnost vede na stejnou kvadratickou rovnici jako výše, takže z ní lze hodnotu zlatého řezu rovněž vypočítat.

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
  2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
  8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
  7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
  0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
  1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
  8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
  2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
  3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
  1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
  1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
  7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
  8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
  8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
  7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
  1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
  3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
  9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
  7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
  9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
  1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089
  ...

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}\,.}$

1.  1
2.  1,4142135623731
3.  1,5537739740300
4.  1,5980531824786 
5.  1,6118477541253
6.  1,6161212065081
7.  1,6174427985274
8.  1,6178512906967
9.  1,6179775309347
10. 1,6180165422315
11. 1,6180285974702
12. 1,6180323227520
13. 1,6180334739282
14. 1,6180338296612
15. 1,6180339395888
16. 1,6180339735583 
17. 1,6180339840554
18. 1,6180339872992
19. 1,6180339883016
20. 1,6180339886114
21. 1,6180339887071
22. 1,6180339887367
23. 1,6180339887458
24. 1,6180339887486
25. 1,6180339887495
26. 1,6180339887498

Číslo ${\displaystyle \varphi }$ lze vyjádřit pomocí řetězového zlomku:

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}$

Pokud vezmeme libovolné číslo ${\displaystyle a_{0}>0}$, pak iterativní posloupnost${\displaystyle a_{i+1}={\frac {1}{a_{i}}}+1}$ konverguje ke zlatému řezu.

i  abs err  Pi           Qi           ai
-- -------- ----------   ----------   ------------------
 0  6.2E-01          1 /          1 = 1.000000000000000
 1 -3.8E-01          2 /          1 = 2.000000000000000
 2  1.2E-01          3 /          2 = 1.500000000000000
 3 -4.9E-02          5 /          3 = 1.666666666666667
 4  1.8E-02          8 /          5 = 1.600000000000000
 5 -7.0E-03         13 /          8 = 1.625000000000000
 6  2.6E-03         21 /         13 = 1.615384615384615
 7 -1.0E-03         34 /         21 = 1.619047619047619
 8  3.9E-04         55 /         34 = 1.617647058823529
 9 -1.5E-04         89 /         55 = 1.618181818181818
10  5.6E-05        144 /         89 = 1.617977528089888
11 -2.2E-05        233 /        144 = 1.618055555555556
12  8.2E-06        377 /        233 = 1.618025751072961
13 -3.1E-06        610 /        377 = 1.618037135278515
14  1.2E-06        987 /        610 = 1.618032786885246
15 -4.6E-07       1597 /        987 = 1.618034447821682
16  1.8E-07       2584 /       1597 = 1.618033813400125
17 -6.7E-08       4181 /       2584 = 1.618034055727554
18  2.6E-08       6765 /       4181 = 1.618033963166706
19 -9.8E-09      10946 /       6765 = 1.618033998521803
20  3.7E-09      17711 /      10946 = 1.618033985017358
21 -1.4E-09      28657 /      17711 = 1.618033990175597
22  5.4E-10      46368 /      28657 = 1.618033988205325
23 -2.1E-10      75025 /      46368 = 1.618033988957902
24  7.9E-11     121393 /      75025 = 1.618033988670443
25 -3.0E-11     196418 /     121393 = 1.618033988780243
26  1.2E-11     317811 /     196418 = 1.618033988738303
27 -4.4E-12     514229 /     317811 = 1.618033988754322
28  1.7E-12     832040 /     514229 = 1.618033988748204
29 -6.5E-13    1346269 /     832040 = 1.618033988750541
30  2.5E-13    2178309 /    1346269 = 1.618033988749648

Pozn.: P_i = P_i-1 + Q_i-1; a_i = P_i / Q_i; viz též Fibonacciho posloupnost.

Zlatý řez je jakožto kvadratická iracionalita euklidovsky konstruovatelným číslem (pomocí kružítka a pravítka).

1. Bodem B úsečky AB o délce a sestrojíme kolmici BC o délce ½ a.
2. Spojíme bod A s bodem C.
3. Sestrojíme kružnici se středem C a poloměrem ½ a.
4. Průnikem kružnice a úsečky AC je bod D.
5. Naneseme úsečku AD na úsečku AB z bodu A.
6. Bod E, který dostaneme, rozdělí úsečku AB zlatým řezem.

1. Mějme čtverec ABCD a bod A', který stranu AB rozděluje na polovinu. Uvažujme i polopřímku AB.
2. Z bodu A' sestrojíme kružnici tak, aby procházela bodem C. Kružnice nám protne polopřímku v bodě E.
3. Vzdálenosti AE a AD jsou v poměru zlatého řezu.
4. Jako bod F si označíme koncový bod vektoru AD aplikovaného z bodu E.
5. Obdélník AEFD má strany v poměru zlatého řezu, stejně jako obdélník BEFC.

Zlatý řez se vyskytuje v přírodě ve formě Fibonacciho posloupnosti. Listy rostlin, pokud vyrůstají jednotlivě, jsou na větvičkách rozloženy tak, že každý list vyrůstá nad předchozím listem více či méně posunut o určitý úhel. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány Sluncem, menší nestíní větším, které mají delší řapíky. Dalším projevem zlatého řezu je uspořádání semen slunečnice nebo smrkové šišky, ve kterých jsou šupiny rozmístěny jako spirála, nebo točité schody. Toto rozmístění je také velice dobře vidět u ananasu. Dalším projevem zlatého řezu v přírodě je logaritmická spirála, která nemění tvar a roste stejně do délky i do šířky. Jejím projevem je růst neživých částí živého tvora. Mohou to být vlasy, nehty, zobáky, zuby, rohy, parohy nebo schránky měkkýšů. Čím více se její zakřivení liší od zakřivení kružnice, tím méně připomíná spirálu. Mírně ohnutý sloní kel i hustě točená ulita plže jsou v tomto ohledu příbuzné. Turovitým kopytníkům, mezi které patří i náš hovězí dobytek a ovce, rostou rohy do spirály. Nebývá to vždy na první pohled zřetelné, neboť obyčejně jsou jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou prostorové logaritmické spirály, např. africký kudu. Spirálu najdeme v klu slona nebo zubu narvala. Narval má zubů velmi málo, pouze v horní čelisti. Samci jeden z těchto zubů naroste do obrovských rozměrů. Je to vždy levý zub a na povrchu je spirálovitá struktura. Je také rozšířen mýtus,^[3] že na lidském těle lze zlatý řez pozorovat tehdy, jestliže se výška postavy (od temene hlavy) dělí vzdáleností pupku od země.

Schránka hlavonožce loděnky je ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na průřezu ulity. Přepážky, které ji rozdělují na komůrky, svědčí o tom, jak loděnka rostla. Logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu ulity plžů. Také hmyz se ke světlu blíží po logaritmické spirále. Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem.^[4]

• 
  Samičí šiška smrku ztepilého
• 
  Květ slunečnice
• 

  (c) MANOJTV from en.wikipedia.org, CC BY-SA 3.0
  Plod ananasu
• 

  (c) Andrew Butko, CC BY-SA 3.0
  Schránka plže
• 

  (c) Chris 73 / Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0
  Hlavonožec Nautilus
• 
  Lebka narvala s dvěma zuby („kly“)

Malíři 1830–1870 Barbizonské školy kompozici zlatého řezu také uplatňovali:

• 
  1802–1868 Camille Flers
• 
  1807–1876 Narcisse Virgile Diaz
• 
  1808–1893 Jules Jacques Veyrassat
• 
  1810–1865 Constant Troyon
• 
  1812–1867 Théodore Rousseau
• 
  1813–1894 Charles Emile Jacque
• 
  1817–1878 Charles Francois Daubigny
• 
  1829–1900 Paul Desire Trouillebert
• 
  1836–1897 Homer Dodge Martin

Podobně jako v umění, pracuje se hojně se zlatým řezem i v dalších disciplínách, kde je důležité estetické působení na diváka či pozorovatele – např. v architektuře, designu, fotografii atd. Druhý hlavní princip, využívaný často v duchu klasické estetiky, je princip symetrie.

• LIVIO, Mario. Zlatý řez: příběh fí, nejpodivuhodnějšího čísla na světě. Praha : Argo a Dokořán, 2006.

• Zlatý úhel
• Fraktál
• Historie kompozice obrazů
• Zlatý prostorový úhel
• Section d'Or – umělecká skupina
• Fibonacciho posloupnost

• Obrázky, zvuky či videa k tématu zlatý řez na Wikimedia Commons
• Téma Zlatý řez ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo zlatý řez ve Wikislovníku
• Výukový kurs Zlatý řez ve Wikiverzitě
• Zlatý řez v České terminologické databázi knihovnictví a informační vědy (TDKIV)
• Diplomová práce na téma Zlatý řez
• Zlatý řez v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Číslice zlatého řezu, oeis.org, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Fibonacci and the Golden Mean
• Šárka GERGELITSOVÁ, Tomáš HOLAN: The Golden Ratio Determined Using a Ruler and Compass, Matfyzpress, Praha 2015