Zlatý prostorový úhel

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{4\pi }}}$ - myšleno v steradiánech

${\displaystyle \alpha +\beta =4\pi }$

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

${\displaystyle \beta =\varphi \alpha }$

${\displaystyle 4\pi =\varphi \beta }$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

${\displaystyle 4\pi =\varphi ^{2}\alpha }$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

${\displaystyle {\frac {4\pi }{\varphi ^{2}}}=\alpha }$

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{4\pi }}}$

${\displaystyle \alpha +\beta =4\pi }$

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

${\displaystyle \beta =4\pi -\alpha }$

${\displaystyle {\frac {\alpha }{4\pi -\alpha }}={\frac {4\pi -\alpha }{4\pi }}}$

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

${\displaystyle 4\pi \alpha =16\pi ^{2}-8\pi \alpha +\alpha ^{2}}$

${\displaystyle 0=16\pi ^{2}-12\pi \alpha +\alpha ^{2}}$

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

${\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {12\pi \pm {\sqrt {80}}\pi }{32}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {12\pi +{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {{\sqrt {14}}\pi }{8}}}$

${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {12\pi -{\sqrt {80}}\pi }{32}}={\frac {\pi }{4}}}$

Související články

• Zlatý řez
• Zlatý úhel
• Prostorový úhel